On munit le plan d'un repère orthonormal $ (\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.
Distance de deux points
La distance entre les points $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ est donnée par la formule suivante :
Le milieu $\rm I$ du segment $\rm [AB]$ avec $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ a pour coordonnées :
On munit le plan d'un repère orthonormal $(\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.
Définition d'un vecteur
Pour deux points de l'espace $\rm A$ et $\rm B$, le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par sa direction (la droite $(AB)$), son sens (de $\rm A$ vers $\rm B$) et sa longueur $\rm AB = \| \overrightarrow{AB} \|$.
Coordonnées de vecteurs
Pour $\mathrm A({x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B({x}_{\mathrm{B}}~ ; {y}_{\mathrm{B}})$ deux points du plan et $\alpha$ un réel, on a :
Multiplication par un scalaire : $\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\alpha({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})~ ; \alpha({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})).$
Addition de vecteurs : Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x'~ ; y')$ deux vecteurs du plan : $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'~ ; y + y')$.
Vecteurs colinéaires et points alignés
Les concepts de colinéarité et d'alignement sont fondamentaux en géométrie vectorielle.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$. Pour des vecteurs $\vec{u}(x ~; y)$ et $\vec{v}(x' ~; y')$, ils sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$ (égalité des produits en croix).
Points alignés
Trois points du plan $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\rm \overrightarrow{AB}$ et $\rm \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
EN RÉSUMÉ
Comment déterminer le milieu d’un segment
En partenariat avec
Comment déterminer une distance dans un repère orthonormé
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Comment appliquer la relation de Chasles pour simplifier des écritures
En partenariat avec
Déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle
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Calculer le déterminant de deux vecteurs
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Comment calculer les coordonnées d’un vecteur
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Montrer que trois points sont alignés en utilisant la colinéarité
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Montrer que deux droites sont parallèles en utilisant la colinéarité
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Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme avec les vecteurs
