Calcul littéral

Développement

Développer une expression, c'est la transformer d'un produit en une somme :

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, $(a + b)\times (c + d)$

$= a \times c + a\times d + b\times c + b\times d$.

Lorsque l'on a ordonné les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l'on a réduit l'expression.

Exemple

$(x-2)(x+3)$

$=x \times x+x \times 3-2 \times x-2 \times 3$ 

$=x^2+3 x-2 x-6 =x^2+x-6$

Factorisation

Factoriser une expression, c'est la transformer d'une somme en un produit de facteurs : on utilise la formule de développement dans l'autre sens.

Exemples

• Factoriser $3 x+6$.

Le facteur commun est $3$.

D'où, $3 x+6 = 3(x+2)$.

• Factoriser

$(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)$.

Le facteur commun est $(x-1)$
On factorise :
$(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)$

$=(x-1)[(x+4)+(2 x-3)]$

$=(x-1)(3 x+1)$
Donc :
$(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)=(x-1)(3 x+1)$.

Identités remarquables

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

Identité	Formule
Carré d'une somme	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Carré d'une différence	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Différence de carrés	$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

EN RÉSUMÉ

Définition

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.

Exemples

$\sqrt 25 = 5$ car $5^2=25$.
$\sqrt 81 = 9$ car $9^2=81$.

Équation $x^2 = a$, $a \geq 0$

Les solutions de l'équation $x^2 = a$ ($a$ positif) sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Exemple

Résolvons : $x^2=16$.
Comme $\sqrt {16}=4$, les solutions de cette équation sont $x = 4$ et $x=-4$.
En effet, $4^2=16$ et $(-4)^2=16$.

Propriétés des racines carrées

Formules fondamentales

Pour $a$ et $b$ deux nombres positifs, nous avons les propriétés suivantes :

• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ ;
• $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b$ non nul).

Applications pratiques

Exemples

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
• $\displaystyle \sqrt{\frac{7}{9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}$

Simplification d'une racine carrée

Pour écrire $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible, on décompose $75 = 3\times 25$ où 25 est un carré parfait.

Ainsi : $\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Erreur à éviter

Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Par exemple : $\sqrt{16} +\sqrt{9} = 4 + 3 = 7$ mais $\sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

EN RÉSUMÉ

Équation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut trouver la ou les valeurs pour laquelle l'égalité entre les deux membres est vraie.

Exemple

Résolvons l'équation :

$$2x+3=7$$

On cherche la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.
On soustrait $3$ aux deux membres :

$$\begin{gathered} 2x+3-3=7-3 \\ 2x=4 \end{gathered}$$

On divise par $2$ les deux membres :

$$x =\frac{4}{2} = 2$$

Vérification :

$$2\times 2 + 3=7$$

L'égalité est vraie. La solution de l'équation est donc : $x=2$.

Équation produit

Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».

$(ax + b)\times(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.

Les solutions de l'équation produit sont donc les solutions de chacune de ces équations du premier degré à une inconnue.

Exemple

Résolvons l'équation :

$$(x-2)(x+5)=0$$

Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On résout donc les deux équations :

$$x-2=0 \quad \text { ou } \quad x+5=0$$

D'où :

$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$

Les solutions de l'équation sont donc :

$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$

EN RÉSUMÉ

Inéquation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

Propriétés de résolution

• Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
• Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
• Une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.

EN RÉSUMÉ

Propriétés des puissances

Propriétés de base

Soit $a$ un nombre non nul. On a les propriétés fondamentales suivantes : $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Propriétés générales des puissances

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs, nous avons les propriétés suivantes :

Propriété	Formule
Puissance négative	$\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Produit de puissances	$a^n \times a^m = a^{m+n}$
Quotient de puissances	$\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Puissance d'une puissance	${(a^m)}^n = a^{m \times n}$
Puissance d'un produit	${(a\times b)}^n = a^n \times b^n$
Puissance d'un quotient	$\displaystyle{(\frac{a}{b})}^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemples

• $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ (produit de puissances)
• $\displaystyle\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ (quotient de puissances)
• ${(3\times 5)}^4 = 3^4 \times 5^4$ (puissance d'un produit)

EN RÉSUMÉ

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Objectif

Reconnaître, développer et utiliser les identités remarquables pour calculer plus vite ou factoriser.

Pourquoi c'est important ?

Les identités remarquables permettent de :

• Développer rapidement des expressions (sans tout réécrire),
• Factoriser pour simplifier des équations,
• Gagner du temps dans les calculs.

Elles apparaissent partout : équations, aires, volumes, problèmes.

⚠️ Il ne faut pas confondre les différentes formules et il faut bien les identifier !

Petit rappel

Une identité remarquable est une égalité mathématique toujours vraie qui simplifie des produits particuliers.

Il en existe 3 principales à connaître au collège.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Carré d'une somme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Exemple

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

2. Carré d'une différence

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Exemple

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

3. Produit d'une somme et d'une différence

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Exemple

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

❌ On évite absolument

• Se tromper de signe dans le double produit $2ab$
• Oublier le double produit $2ab$
• Penser que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ → FAUX et archi FAUX

✅ On valide

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir reconnaître, calculer et utiliser les racines carrées dans des calculs simples.

Pourquoi c'est important ?

Les racines carrées sont utiles pour :

• Résoudre des équations et des problèmes de géométrie (théorème de Pythagore),
• Calculer des distances et des diagonales,
• Travailler avec des aires et des volumes,
• Simplifier des expressions mathématiques.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Racine carrée : La racine carrée d'un nombre $a$ est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $a$.

$$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$$

• On la note $\sqrt{a}$

Exemple

$$\sqrt{9} = \sqrt{3 \times 3} = 3$$

⚠️ On ne prend que la valeur positive en racine carrée simple.

• $\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$

🪜 Les étapes pour assurer

1. Produit sous la racine

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

Exemple

$$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$$

2. Division sous la racine

$$\sqrt{a \div b} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Exemple

$$\sqrt{16 \div 25} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0,8$$

3. Carré et racine carrée s'annulent

$$\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$$

Exemple

$$\sqrt{5^2} = 5$$

4. La racine carrée d'un nombre est ce nombre élevé à la puissance ½

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$

Exemple

$$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$$

❌ On évite absolument

• Penser que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ → FAUX et archi FAUX !
• Oublier que la racine carrée est positive par défaut
• Essayer de calculer la racine carrée d'un nombre négatif (dans $\mathbb{R}$)

✅ On valide

• Racine d'un produit → $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• Racine d'un quotient → $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• Racine d'un carré → $\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$
• Nombre exact : $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$, etc.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et savoir calculer les puissances d'un nombre (positives et simples), et utiliser les règles de calcul associées.

Pourquoi c'est important ?

Les puissances apparaissent :

• Dans les calculs scientifiques,
• Dans les aires et volumes,
• Ou les écritures simplifiées comme la notation scientifique.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Puissance : Une puissance, c'est une multiplication répétée d'un même nombre.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}$$

• $a$ : la base = le nombre à multiplier
• $n$ : l'exposant = le nombre de fois qu'on multiplie

🔧 Les étapes pour assurer

1. Cas particuliers

• Puissance de 0

$$0^n = 0, n > 0$$

Exemple

$$0^3 = 0$$

• Puissance de 1

$$1^n = 1, \text{ pour tout } n$$

Exemple

$$1^4 = 1$$

• Exposant 0

$$a^0 = 1, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$4^0 = 1$$

• Exposant 1

$$a^1 = a, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$3^1 = 3$$

2. Les règles de calcul

• Multiplier les puissances

$$x^a \times x^b = x^{a+b}$$

Exemple

$$3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$$

• Diviser les puissances

$$x^a \div x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$

Exemple

$$3^4 \div 3^2 = \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$$

• Inverse d'une puissance

$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Exemple

$$\frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

• Puissance d'une puissance

$$(x^a)^b = x^{a \times b}$$

Exemple

$$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$$

❌ On évite absolument

• Confondre $x^n$ et $x \times n$ → ce n'est pas la même chose !
• Appliquer les règles de calcul avec des bases différentes

✅ On valide

• Même base en multiplication → $x^a \times x^b = x^{a+b}$
• Même base en division → $x^a \div x^b = x^{a-b}$
• Puissance d'une puissance → $(x^a)^b = x^{a \times b}$

Le petit + à retenir