Suites numériques

Définition d'une suite arithmétique

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique. Une suite arithmétique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et on doit obtenir un réel $r$.

Pour ce qui suit, on considère une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Terme général d'une suite arithmétique

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.

Monotonie d'une suite arithmétique

• Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante. 
• Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante. 
• Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}.$$

EN RÉSUMÉ

Définition d'une suite géométrique

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite $(u_n)$ de termes non nuls est géométrique, on calcule $\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et on doit obtenir un réel $q$.

Pour ce qui suit, on considère une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Terme général d'une suite géométrique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

Monotonie d'une suite géométrique

Cas où $q > 0$ et $u_0 > 0$

• Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante. 
• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement décroissante.
• Si $q = 1$, alors la suite est constante.

Cas où $q > 0$ et $u_0 < 0$

• Si $q > 1$, alors la suite est strictement décroissante. 
• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement croissante. 
• Si $q = 1$, alors la suite est constante.

Cas particuliers

Si $q = 0$, la suite est constante (égale à 0 à partir du 2ième terme).

Si $q < 0$, la suite n'est pas monotone.

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$, 

$\displaystyle S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ $\displaystyle = u_0 \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}.$

EN RÉSUMÉ

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