L'intersection de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cap B$ ("$A$ inter $B$"). $A \cap B$ correspond à l'événement "$A$ et $B$".
Événements incompatibles
Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles.
Événements indépendants
Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Réunion de deux événements
La réunion de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cup B$ ("$A$ union $B$"). $A \cup B$ correspond à l'événement "$A$ ou $B$".
Propriétés
Formule générale :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Cas particulier : Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
EN RÉSUMÉ
Définition
Probabilité conditionnelle
Soit $A$ et $B$ deux événements ($A$ de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé est :
Soient A et B deux événements tels que A, $\bar{A}$, B et $\bar{B}$ sont de probabilités non nulles. A ∩ B et $\bar{A}$ ∩ B forment une partition de l'événement B et on a :
Avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces: $$P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{1}{6}$$
Tirer un as dans un jeu de 32 cartes: $$P(\mathrm{avoir~un~as}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$$
2. Probabilité de l'union de deux événements
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
3. Les différents événements•
L'événement contraire ou le complémentaire
L'événement contraire d'un événement A est noté $\overline{A}$. Sa probabilité est donnée par:
$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
Exemples
Ne pas avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces: $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~la~face~6}) = 1 - P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$$
Ne pas tirer un as dans un jeu de 32 cartes: $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~un~as}) = 1 - P(\mathrm{avoir~un~as}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$$
Les événements incompatibles
Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints (on note $A \cap B = \emptyset$) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. La probabilité de leur intersection est nulle:
$$P(A \cap B) = 0$$
⚠️ Un événement et son complémentaire sont toujours incompatibles!
Exemple La probabilité d'avoir son bac et de ne pas l'avoir est nulle.
➡️ La probabilité de l'union de deux événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque événement:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
Les événements indépendants
Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas celle de l'autre.
La probabilité de l'intersection de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités des deux événements:
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
➡️ La probabilité de l'union de deux événements indépendants est égale à:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)$$
4. Les probabilités conditionnelles
La probabilité de A sachant que B est réalisé est donnée par:
$$P_B(A) = P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
❌ On évite absolument
Confondre cas favorables et cas possibles.
Penser qu'une probabilité > 1 ou < 0 est possible ⇒ FAUX et archi FAUX !
Confondre événements incompatibles et événements indépendants.
✅ On valide
Identifier si les événements sont incompatibles ou indépendants.
Pour une conditionnelle, penser à "réduire l'univers" à la condition donnée.
Vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut 1.
