Méthodo

Objectif

Comprendre la notion de dérivée et savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.

Pourquoi c'est important ?

Les dérivées sont essentielles pour :

• Étudier la variation d'une fonction (croissance/décroissance).
• Trouver les maxima et minima (optimisation).
• Modéliser des vitesses instantanées ou taux de variation en physique, économie, biologie…
• Comprendre et utiliser les tangentes à une courbe.

Petit rappel

• La dérivée d'une fonction $f$ en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Notations : $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$
• Interprétation :
  • $f'(x) > 0$ → fonction croissante
  • $f'(x) = 0$ → fonction constante
  • $f'(x) < 0$ → fonction décroissante

🪜 Les étapes pour assurer

1. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$

2. Règles de calcul des dérivées

• Somme et différence

  $(u + v)' = u' + v'$

  $(u - v)' = u' - v'$

• Produit

  $(uv)' = u'v + uv'$

• Quotient

  $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

• Composition

  $(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)$

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$u - v$	$u' - v'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$
$\mathrm e^u$	$u'\mathrm e^u$
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$

Exemples

• $f(x) = x^2 + 3x + 2$

  $f'(x) = 2x + 3$

• $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$

  $f'(x) = \dfrac{2 \times x - (2x + 1) \times 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$

• $f(x) = \mathrm e^{3x}$

  $f'(x) = 3\mathrm e^{3x}$

• $f(x) = \ln(x^2)$

  $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$

• $f(x) = \cos(2x)$

  $f'(x) = -2\sin(2x)$

❌ On évite absolument

• Oublier de multiplier par la dérivée intérieure dans une fonction composée.
• Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
• Dériver de tête sans vérifier les règles.

✅ On valide

• Bien identifier la forme (somme, produit, quotient, composée) avant d'appliquer les règles.
• Vérifier si la fonction contient une composition.
• Simplifier après avoir dérivé.

Le petit + à retenir

 

Objectif

Savoir calculer la probabilité d'un événement simple et l'exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal ou en pourcentage.

Pourquoi c'est important ?

Les probabilités permettent de :

• Évaluer des chances dans des situations incertaines (jeux, tirages, tests).
• Prendre des décisions éclairées en fonction de la vraisemblance d'un résultat.
• Modéliser des phénomènes aléatoires en science, économie, assurance, médecine…
• Décomposer des situations complexes avec des événements conditionnels.

Petit rappel

• Probabilité : c'est la chance qu'un événement se produise, exprimée entre 0 (impossible) et 1 (certain).
• On peut l'écrire sous trois formes équivalentes :
  • Fraction (par exemple $\dfrac{1}{4}$)
  • Décimal (par exemple 0,25)
  • Pourcentage (par exemple 25 %)
• La somme des probabilités de tous les résultats possibles vaut 1.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Formule de base

$$P(\mathrm{événement}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}}$$

Exemples

• Avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces : $$P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{1}{6}$$
• Tirer un as dans un jeu de 32 cartes : $$P(\mathrm{avoir~un~as}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$$

2. Probabilité de l'union de deux événements

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

3. Les différents événements•

• L'événement contraire ou le complémentaire

L'événement contraire d'un événement A est noté $\overline{A}$.
Sa probabilité est donnée par :

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

Exemples

• Ne pas avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces : $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~la~face~6}) = 1 - P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$$
• Ne pas tirer un as dans un jeu de 32 cartes : $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~un~as}) = 1 - P(\mathrm{avoir~un~as}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$$
  
  
• Les événements incompatibles

Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints (on note $A \cap B = \emptyset$) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. La probabilité de leur intersection est nulle :

$$P(A \cap B) = 0$$

⚠️ Un événement et son complémentaire sont toujours incompatibles !

Exemple
La probabilité d'avoir son bac et de ne pas l'avoir est nulle.

➡️ La probabilité de l'union de deux événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque événement :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

• Les événements indépendants

Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas celle de l'autre.

La probabilité de l'intersection de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités des deux événements :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

➡️ La probabilité de l'union de deux événements indépendants est égale à :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)$$

4. Les probabilités conditionnelles

La probabilité de A sachant que B est réalisé est donnée par :

$$P_B(A) = P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

❌ On évite absolument

• Confondre cas favorables et cas possibles.
• Penser qu'une probabilité > 1 ou < 0 est possible ⇒ FAUX et archi FAUX !
• Confondre événements incompatibles et événements indépendants.

✅ On valide

• Identifier si les événements sont incompatibles ou indépendants.
• Pour une conditionnelle, penser à "réduire l'univers" à la condition donnée.
• Vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut 1.

Le petit + à retenir