Mouvement d’un système

Le vecteur vitesse

Construction d'un vecteur vitesse

Le vecteur vitesse moyen $\rm \overrightarrow{v}(t_2)$ au point $\rm M_2$ à la date $\rm t_2$ s'écrit :

$\boxed{\rm \overrightarrow{v}(t_2)=\dfrac{\overrightarrow{M_1 M_3}}{t_3-t_1}}$

Caractéristiques du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse $\rm \overrightarrow{v}(t_2)$ possède quatre caractéristiques principales :

• Direction : la tangente à la trajectoire au point $\rm M _2$, parallèle à la droite $\rm (M _1 M _3)$
• Sens : celui du mouvement
• Valeur : $\rm v_2=\dfrac{M M_2}{t_3-t_1}=\dfrac{M_1 M_3}{2 \tau}$. La valeur $\rm v_2$ s'exprime en $\rm m.s^{-1}$.
  ($\tau$ : intervalle de temps constant entre deux points consécutifs)
• Longueur : donnée par une échelle des vitesses

Exemple

Échelle des vitesses : $\rm 1~cm \leftrightarrow 0,1~m.s^{-1}$

Le vecteur variation de vitesse

Construction du vecteur variation de vitesse

Pour construire le vecteur variation de vitesse $\bf \Delta \overrightarrow {V_5} = \overrightarrow {V_6} - \overrightarrow {V_4}$, il faut suivre ces étapes :

1. Tracer les vecteurs vitesse $\rm \overrightarrow {V_4}$ et $\rm \overrightarrow {V_6}$
2. Au point $\rm M_5$, reconstruire le vecteur $\rm \overrightarrow {V_6}$
3. Construire le vecteur $-\rm \overrightarrow {V_4}$ depuis l'extrémité du vecteur $\rm \overrightarrow {V_6}$ reconstruit juste avant
4. Le vecteur $\Delta \rm \overrightarrow {V_5}$ est le vecteur qui joint l'origine de $\rm \overrightarrow {V_6}$, point $\rm M_5$, à l'extrémité de $- \rm \overrightarrow {V_4}$

Principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique s'exprime par la relation suivante :

$\rm \displaystyle \sum \vec F_{ext} = m \times \Delta \overrightarrow v / \Delta t$

Le rôle de la masse du système

Plus la masse du système est grande, plus la variation du vecteur vitesse est faible pour une même somme des forces appliquées. Cette relation illustre l'inertie du système.

EN RÉSUMÉ

Objectif

Comprendre et utiliser les vecteur vitesse et vecteur accélération pour décrire un mouvement en physique.

Pourquoi c'est important ?

• Décrire de manière complète le mouvement d'un objet, pas seulement sa vitesse.
• Analyser des trajectoires complexes (courbes, circulaires).
• Comprendre les effets des forces sur un objet (dynamique).

Petit rappel

• Une grandeur scalaire est définie uniquement par un nombre (ex : masse, température).
• Une grandeur vectorielle est définie par :
  • Une direction : ligne de mouvement (verticale vers le bas, vers le haut, etc)
  • Un sens : vers où pointe le vecteur
  • Une norme : sa valeur
• La vitesse et l'accélération sont des vecteurs.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Vecteur vitesse

Définition :

$$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}$$

• $\vec{x}(t)$ = vecteur position à l'instant $t$.
• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
• Sa norme = vitesse instantanée ($\mathrm{m/s}$).

Cas discret :

$$\vec{v}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

• Direction : celle du mouvement.
• Sens : même sens que le déplacement.
• Norme : $\|\vec{v}\| = \dfrac{\mathrm{distance~parcourue}}{\mathrm{durée}}$

2. Vecteur accélération

Définition :

$$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}$$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

• C'est la variation de la vitesse en norme, direction ou sens.
• Sa norme s'exprime en $\mathrm{m/s^2}$.

Cas discret :

$$\vec{a}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Remarque :

Même si la norme de la vitesse reste constante, il peut y avoir une accélération si la direction change (ex. mouvement circulaire uniforme).

Exemple

Un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante :

• $\vec{v}$ change de direction en permanence → $\vec{a}$ est non nul
• $\vec{a}$ pointe vers le centre du cercle → accélération centripète.

❌ On évite absolument

• Confondre vitesse (scalaire) et vecteur vitesse.
• Penser qu'il n'y a accélération que si la vitesse change en valeur (elle peut aussi changer en direction).
• Oublier les unités : $\mathrm{m/s}$ pour la vitesse, $\mathrm{m/s^2}$ pour l'accélération.

✅ On valide

• Toujours représenter $\vec{v}$ tangent à la trajectoire.
• Représenter $\vec{a}$ vers l'intérieur de la courbe pour un mouvement circulaire.
• Bien différencier la variation de norme et la variation de direction.

Le petit + à retenir