Équation du second degré
Résolution d'équations du second degré
Forme générale et discriminant
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ trois réels.
Le discriminant est défini par :
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
Cas selon le signe du discriminant
Cas 1 : Discriminant négatif
Si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution réelle.
Cas 2 : Discriminant nul
Si $\Delta = 0$, l'équation $ax^2 + b x + c = 0$ a une solution double :
$$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$
Cas 3 : Discriminant positif
Si $\Delta > 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et } x_2= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Exemples d'application
Exemple 1
$-2x^2 + 3x - 7 = 0$
$\Delta = 9 - 56 = - 47$. Comme $\Delta < 0$, on a $S = \emptyset$.
Exemple 2
$\displaystyle \frac{1}{4} x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{16}{25} = 0$
$\displaystyle \Delta = \frac{16}{25} - 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{16}{25}= 0$
$\displaystyle {x}_0 = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{8}{5}$
Donc $\displaystyle S = \{\frac{8}{5}\}$.
Exemple 3
$-2x^2 + 3x + 5 = 0$
$\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4}= \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$
Donc $\displaystyle S = \{-1~ ; \frac{5}{2}\}$.
Relations entre les racines
Si $\Delta > 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) admet 2 racines distinctes.
En notant $S = x_1 + x_2$ leur somme et $P = x_1 \times x_2$ leur produit, on a :
$$S = -\frac{b}{a} \text{ et } P = \frac{c}{a}.$$
Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.
