Dérivation

Dérivabilité d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.

Nombre dérivé

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$. On a donc :

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$$

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en $x_0$ on calcule $f'(x_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

EN RÉSUMÉ

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée ($x\mapsto \sqrt{x}$) est dérivable sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Fonction inverse

La fonction inverse ($\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$) est dérivable sur les intervalles ]$-\infty$ ; 0[ et ]0 ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $\displaystyle x\mapsto -\frac{1}{x^2}$.

Fonctions puissance

Les fonctions puissance ($x\mapsto x^n$, $n\in {\mathbb{N}}^*$) sont dérivables sur l'intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et, pour $n$ fixé, leur dérivée est la fonction $x\mapsto n x^{n-1}$.

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue ($x\mapsto \mid x \mid$) est définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto x$ si $x\geq 0$ et $x\mapsto -x$ si $x < 0$.

Elle est dérivable sur ${\mathbb{R}}^*$ (donc n'est pas dérivable en 0) et sa dérivée est la fonction définie par $x\mapsto 1$ si $x > 0$ et $x\mapsto -1$ si $x < 0$.

EN RÉSUMÉ

Règles de dérivation

Dérivée d'une somme

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u + v)' = u' + v'$

Dérivée d'un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$

Dérivée d'un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$

Dérivée d'un quotient

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et on a :

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$$

Cas particulier

En particulier :

$$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$$

Dérivée d'une composée

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ par $u(x) = g(ax + b)$ ($a$ et $b$ deux réels, $ax + b \in J$ un intervalle et $g$ dérivable sur $J$).

Si $u$ est dérivable sur $I$, alors :

$u'(x) = ag'(ax+b)$

EN RÉSUMÉ

Sens de variation d'une fonction dérivable

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Fonction strictement croissante

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Fonction strictement décroissante

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

EN RÉSUMÉ

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Objectif

Comprendre la notion de dérivée et savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.

Pourquoi c'est important ?

Les dérivées sont essentielles pour :

• Étudier la variation d'une fonction (croissance/décroissance).
• Trouver les maxima et minima (optimisation).
• Modéliser des vitesses instantanées ou taux de variation en physique, économie, biologie…
• Comprendre et utiliser les tangentes à une courbe.

Petit rappel

• La dérivée d'une fonction $f$ en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Notations : $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$
• Interprétation :
  • $f'(x) > 0$ → fonction croissante
  • $f'(x) = 0$ → fonction constante
  • $f'(x) < 0$ → fonction décroissante

🪜 Les étapes pour assurer

1. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$

2. Règles de calcul des dérivées

• Somme et différence

  $(u + v)' = u' + v'$

  $(u - v)' = u' - v'$

• Produit

  $(uv)' = u'v + uv'$

• Quotient

  $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

• Composition

  $(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)$

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$u - v$	$u' - v'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$
$\mathrm e^u$	$u'\mathrm e^u$
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$

Exemples

• $f(x) = x^2 + 3x + 2$

  $f'(x) = 2x + 3$

• $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$

  $f'(x) = \dfrac{2 \times x - (2x + 1) \times 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$

• $f(x) = \mathrm e^{3x}$

  $f'(x) = 3\mathrm e^{3x}$

• $f(x) = \ln(x^2)$

  $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$

• $f(x) = \cos(2x)$

  $f'(x) = -2\sin(2x)$

❌ On évite absolument

• Oublier de multiplier par la dérivée intérieure dans une fonction composée.
• Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
• Dériver de tête sans vérifier les règles.

✅ On valide

• Bien identifier la forme (somme, produit, quotient, composée) avant d'appliquer les règles.
• Vérifier si la fonction contient une composition.
• Simplifier après avoir dérivé.

Le petit + à retenir