L'année de cinquième

L'Empire romain d'Occident s'écroule en 476. Il est remplacé dans toute l'Europe, en Afrique et en Orient par des royaumes germaniques issus des invasions. Seul l'Empire romain d'Orient se maintient. Il prend rapidement le nom d'Empire byzantin.

L'Empire byzantin est un empire centralisé et dirigé par un empereur appelé basileus. Cet empire est chrétien mais se sépare de l'Eglise romaine en 1054. C'est ce qu'on appelle un schisme : il existe dès lors deux familles chez les Chrétiens : les Catholiques et les Orthodoxes. L'Empire byzantin s'affaiblit progressivement. Il est envahi par les Turcs seldjoukides en 1453.

Dans l'ancienne Gaule romaine, la dynastie germanique des Mérovingiens prend le pouvoir au Ve siècle. Au VIIIe siècle, les Mérovingiens sont chassés du pouvoir par les Carolingiens. Charlemagne est le plus célèbre d'entre eux : il conquiert de nombreux territoires qu'il convertit au Christianisme et prend le titre d'Empereur d'Occident en 800.

Division euclidienne

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels ($b$ différent de $0$), effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à trouver deux nombres entiers naturels $q$ et $r$ tels que $a = b\times q + r$ et $0\leq r < q$.

Exemple :
Dans la division euclidienne de $75$ par $12$, $75$ est le dividende, $12$ le diviseur, $6$ le quotient et $3$ le reste.
On a : $75 = 12\times 6 + 3$ et $0\leq 3 < 6$.

Remarque : Si le reste $r$ est nul, on a $a = b\times q$ et on dit que $a$ est un multiple de $b$, $a$ est divisible par $b$ ou $b$ est un diviseur de $a$.

Critères de divisibilité

• Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
• Un nombre entier est divisible par $3$, si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
• Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
• Un nombre entier est divisible par $9$, si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
• Un nombre entier est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$.

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