Puissances

Puissances de 10

$10^0 = 1$ et $10^1 = 10$.

Propriétés des puissances de 10

Pour tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs :

• $\boxed{10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}}$

Exemple

 $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}$

• $\boxed{10^{n}\times 10^{m} = 10^{m +n}}$

Exemple

$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}=10^2$

• $\boxed{\displaystyle \frac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}}$

Exemple

$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$
$\displaystyle \frac{10^4}{10^{-2}} = 10^{4-(-2)} = 10^{4+2}=10^{6}$

• $\boxed{\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{m \times n}}$

Exemples

$(10^3)^2 = 10^{3\times 2} = 10^6$

Écriture scientifique d'un nombre

L'écriture scientifique d'un nombre est celle de la forme $a \times 10^p$ avec $1 \le a \lt 10$ et $p$ un nombre entier relatif.

Exemples

$2, 017 \times 10^3$ est l'écriture scientifique du nombre $2\: 017$

$1,9 \times 10^{-2}$ est l'écriture scientifique du nombre $0,019$

Les puissances et leurs propriétés

Soit $a$ un nombre non nul.

Définitions de base

$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Propriétés des puissances

Pour tout nombre non nul $a$ et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

• Puissance négative :
  $$\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$$

Exemple

$4^{-4}=\dfrac{1}{4^4}$

• Produit de puissances :
  $$\boxed{a^n \times a^m = a^{m+n}}$$  

Exemples

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ 
$4^{-1}\times 4^4 = 4^{-1+4} = 4^3$ 

• Quotient de puissances :
  $$\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$$

Exemples
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{2^4}{2^{-2}}=2^{4-(-2)}=2^6$

• Puissance de puissance :
  $$\boxed{{(a^m)}^n = a^{m \times n}}$$

Exemple

${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$