Pour $a$ et $b$ deux nombres :
$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
Cette formule permet de développer une expression, mais elle permet aussi de factoriser une expression qui est la différence de deux nombres ou expressions au carré.
La différence de deux carrés $a^2 - b^2$ peut toujours être factorisée sous la forme $(a - b)(a + b)$.
Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$, nous avons les formules suivantes :
$$k\times (a + b) = k \times a + k \times b$$
$$(a + b) \times k = a \times k + b \times k$$
Ces formules permettent de distribuer la multiplication sur l'addition.
Exemple
$5(x+2)=5 \times x+ 5 \times 2 = 5x + 10$
Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, nous avons :
$$(a + b)\times(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$
Après le développement, on regroupe les termes semblables puis on range les termes selon les puissances décroissantes de $x$. On dit alors que l'expression est réduite et ordonnée.
Exemple
$\begin{gathered}(x-2)(x+3)=x \times x+x \times 3-2 \times x-2 \times 3 \\ =x^2+3 x-2 x-6 \\ (x-2)(x+3)=x^2+x-6\end{gathered}$
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit de facteurs. Cette opération est l'inverse du développement.
On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité dans l'autre sens pour effectuer une factorisation.
Exemples
Le facteur commun est $3$.
D'où $3 x+6=3(x+2)$
Le facteur commun est $(x-1)$
On factorise :
$\begin{gathered}(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3) \\ =(x-1)[(x+4)+(2 x-3)] \\ =(x-1)(3 x+1)\end{gathered}$
Donc :
$(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)=(x-1)(3 x+1)$
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut trouver la ou les valeurs pour laquelle l'égalité entre les deux membres est vraie.
Exemple
Résolvons l'équation :
$$x+3=7$$
On cherche la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.
On soustrait $3$ aux deux membres :
$$\begin{gathered} x+3-3=7-3 \\ x=4 \end{gathered}$$
Vérification :
$$4+3=7$$
L'égalité est vraie. La solution de l'équation est donc : $x=4$
Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».
$(ax + b)\times(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.
Les solutions de l'équation produit sont donc les solutions de chacune de ces équations du premier degré à une inconnue.
Exemple
Résolvons l'équation :
$$(x-2)(x+5)=0$$
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On résout donc les deux équations :
$$x-2=0 \quad \text { ou } \quad x+5=0$$
D'où :
$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$
Les solutions de l'équation sont donc :
$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$
La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.
Exemples
$\sqrt 25 = 5$ car $5^2=25$
$\sqrt 81 = 9$ car $9^2=81$
Les solutions de l'équation $x^2 = a$ ($a$ positif) sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Exemple
Résolvons : $x^2=16$
Comme $\sqrt {16}=4$, les solutions de cette équation sont $x = 4$ et $x=-4$.
En effet, $4^2=16$ et $(-4)^2=16$
