Rentabilité et risque d’un actif ou portefeuille d’actifs

Sur les marchés financiers, on distingue les actifs sans risque et les actifs risqués. Plus un actif est risqué et plus les perspectives de rentabilité sont importantes.

Taux de rentabilité d’un actif risqué = taux de rentabilité d’un actif non risqué + prime de risque.

Rentabilité d’une action sur la période 1 :

$\displaystyle Rx= \frac{C1-C0+D}{C0}$

Avec $C1$ : le cours à la date 1, $C0$ le cours à la date 0 et $D$ le dividende versé au cours de la période 1.

Rentabilité moyenne d’une action sur n périodes :

$\displaystyle Rmoy \:x= \frac{\sum Rx}{n}$
Le risque d’une action est mesuré par l’écart-type ($\sigma$) ou la variance (VAR) de la rentabilité.

$\displaystyle VAR(Rx)= \frac{\sum Rx^2}{n} - Rmoy \:x^2$

Et $\displaystyle (Rx)= \sqrt{VAR(Rx)}$

$\sigma (Rx)=0$ : actif sans risque (ex : Bons du Trésor)
$\sigma (Rx) > 0$ : actif risqué.
Pour réduire le risque, un portefeuille peut contenir des actifs de différents niveaux de risque.

Rentabilité espérée d’un portefeuille : $\rm \bf E(Rp)$
$\displaystyle E(Rp)= \sum E(Ri) \times pi$
Avec $Ri$ : la rentabilité d’un titre et $pi$ : la proportion du titre.

Risque du portefeuille : $\bf VAR(Rp)$ et $\bf \sigma (Rp)$
$\displaystyle VAR(Rp)= ∑ pi^2 \times VAR(Ri)$
$\sigma (Rp)= \sqrt VAR(Rp)$

Lorsque les rentabilités de deux titres ne sont pas indépendantes, on a dans ce cas :
$VAR (Rp)=p1^2 VAR(R1)+p2^2 VAR(R2)+2p1p2 COV(R1,R2)$

Avec $COV$ pour covariance : $COV(R1,R2) = E(R1 x R2) -E(R1) \times E(R2)$

Le risque d’une action dépend du risque du marché ou systématique (lié à la conjoncture) et du risque spécifique, propre à l’action.

Le risque spécifique peut être éliminé par diversification du portefeuille.

Il existe plusieurs modèles de marché qui permettent le calcul du taux de rentabilité exigé d’un actif risqué en fonction de son risque.

Le MEDAF (modèle d’équilibre des actifs financiers) :
Modèle retenant comme hypothèse, l’efficience des marchés.
$E(R)=Rf+\beta [E(Rm)-Rf]$
avec $Rf$ : rentabilité d’un actif sans risque, $Rm$ : rentabilité attendue sur l’ensemble du marché, $\beta$ : coefficient de sensibilité de la rentabilité d’une action aux fluctuations du marché
Prime de risque = [E(Rm)-Rf]

Il existe aussi des modèles multifacteurs dont la rentabilité espérée dépendra de plusieurs facteurs.
$E(R)=Rf+\beta 1[E(R1)-Rf]+\beta 2[E(R2)-Rf]$
Avec $β1$ = coefficient de sensibilité à une variation du facteur 1, $E(R1)$ = rentabilité espérée d’un portefeuille qui aurait un bêta de 1 par rapport au facteur 1 et de 0 par rapport au facteur 2 (et inversement pour $E(R2)$)
$[E(R1)-Rf]$ : prime de risque relative au facteur 1.