Automatismes agro

Prendre la fraction d’un nombre

Prendre la fraction d’un nombre, c’est multiplier la fraction par ce nombre.

Par exemple, pour calculer les deux cinquièmes de 35, on calcule $\frac{2}{5} \times 35$ avec une des trois méthodes suivantes :

• $\dfrac{2}{5} \times 35 = \dfrac{2\times 35}{5} = \dfrac{70}{5} = 14$ ;
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 2\times \dfrac{35}{5} = 2\times 7 = 14$ ;
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 0,4 \times 35 = 14$.

Selon les calculs, une des 3 méthodes sera plus simple que les autres.

Equation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité entre deux expressions, qui sont les membres de l’équation, où figure une inconnue qui est en général notée $x$. 
Résoudre l’équation revient à trouver la ou les valeurs de l’inconnue $x$ telle(s) que l’égalité est vraie.

Exemple : $3x - 5 = 4$ est équivalent à $3x = 4 + 5 = 9$, donc à $x = 9 \div 3 = 3$.

Puissance de 10

$10^0 = 1$ ; $10^1 = 10$.
Pour tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :
$\displaystyle 10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ ;
$\displaystyle10^n \times 10^m = 10^{m+n}$ ;
$\displaystyle \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ ;
$\displaystyle {(10^m)}^n = 10^{m \times n}$.

Exemples :
$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^{2}$ ;
${(10^3)}^2 = 10^{3 \times 2} = 10^6$ ;
$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$.

Ecriture scientifique d’un nombre

L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme $a \times 10^p$ avec $1 \le a \lt 10$ et $p$ un nombre entier relatif.

Exemple :
L’écriture scientifique du nombre $2 \:017$ est $2, 017 \times 10^3$.

Formule de simple distributivité

Pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$, on a :

$$k\times (a + b) = k\times a + k\times b$$ et $$(a + b) \times k = a\times k + b\times k$$

Exemple :
$2\times (x - 3) = 2\times x - 2\times 3 = 2x - 6$.

Ces formules permettent de développer une expression, c'est-à-dire transformer un produit en une somme. 

Lues de la droite vers la gauche, ces formules permettent de factoriser une expression, c'est-à-dire transformer une somme en produit de facteurs.

Vitesse moyenne : $\displaystyle v = \frac{d}{t}$ ($v$ exprimée en $\rm km/h$, $d$ en $\rm km$ et $t$ en $\rm h$)

Pour calculer une distance ou une durée, on a :

\[d = v \times t \text{ et } t = \displaystyle \frac{d}{v}.\]

Il faut faire attention aux unités : si $d$ est exprimé en mètres $\rm (m)$ et $t$ en secondes $\rm (s)$, $v$ sera exprimée en mètres par seconde $\rm (m/s)$.

Changement d’unité : $\rm 1~m/s = 3,6~km/h$.