Acquisition des premiers outils mathématiques

L’apprentissage du nombre est un enjeu central à l’école maternelle. Il permet aux élèves de comprendre progressivement les quantités, de dénombrer, de composer et décomposer les nombres, puis d’utiliser le nombre pour exprimer un rang ou une position. Ces apprentissages se construisent par la manipulation, l’observation et la verbalisation.

A. Exprimer une quantité par un nombre (cardinalité)

Points de vigilance

• Ne pas introduire prématurément le zéro.
• S'assurer de la compréhension des quantités 2 puis 3 avant d'aborder 4.
• Ne pas travailler l'écriture chiffrée avant que le sens de la quantité soit construit.

1. Comprendre l'invariance de la quantité

Avant 4 ans (PS)

L'enfant apprend à reconnaître puis à constituer des collections ayant le même nombre d'éléments (2, puis 3, voire 4), même lorsque les objets diffèrent par leur couleur, leur taille ou leur fonction. Il découvre également qu'une même quantité peut être organisée différemment dans l'espace. Enfin, il réalise des collections dont la quantité est représentée par une image ou exprimée oralement.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève approfondit l'idée qu'une quantité reste identique quelles que soient la nature des objets ou leur disposition spatiale. Il reconnaît et constitue des collections de même cardinal jusqu'à 6 éléments malgré des caractéristiques ou des organisations différentes.

À partir de 5 ans (GS)

L'enfant consolide la compréhension de l'invariance des quantités jusqu'à 10 et au-delà, en s'appuyant sur différentes représentations : collections, noms de nombres et écritures chiffrées.

2. Comprendre le successeur ($+1$) et maîtriser la comptine numérique

Avant 4 ans (PS)

L'enfant découvre que l'ajout d'un objet à une collection correspond au nombre suivant dans la suite orale. Il réalise des collections contenant un élément de plus (de 1 à 2, de 2 à 3, voire de 3 à 4), nomme les quantités avant et après l'ajout et récite la comptine numérique de 1 à 6.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève poursuit ce travail en réalisant une collection contenant un objet de plus qu'une collection donnée. Il apprend à parcourir une collection en passant une seule fois par chaque élément et maîtrise progressivement la comptine numérique jusqu'à 12.

À partir de 5 ans (GS)

L'enfant réalise des collections comportant un objet de plus ou de moins. Il identifie les nombres avant et après un ajout ou un retrait. Il maîtrise la comptine numérique jusqu'à 30, sait réciter la suite à rebours de 10 à 1 et commence à compter de 2 en 2 jusqu'à 20.
À rebours : 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

3. Dénombrer des collections

Avant 4 ans (PS)

L'enfant perçoit globalement de petites quantités. Il dénombre en déplaçant les objets un à un afin de construire le principe de cardinalité, jusqu'à 3 ou 4 éléments. Il utilise également ses doigts ou le nom d'un nombre pour exprimer une quantité.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève utilise le principe de cardinalité pour dénombrer par énumération jusqu'à 6 éléments. Il commence aussi à mobiliser des compositions de nombres, même si cette compétence n'est pas encore attendue de manière formelle.

À partir de 5 ans (GS)

L'enfant dénombre jusqu'à 10 éléments et au-delà en s'appuyant sur le principe de cardinalité. Il utilise également des compositions et décompositions numériques pour faciliter le dénombrement.
Exemple $4 + 4 = 8$

4. Composer, décomposer et écrire les nombres

Avant 4 ans (PS)

L'enfant compose et décompose les nombres 2, 3 et parfois 4. Il verbalise des relations simples.
Exemple « un et un font deux » ou « deux et un font trois »
Il associe progressivement quantité, nom du nombre et écriture chiffrée pour les petites quantités.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève compose et décompose les nombres jusqu'à 6 et verbalise toutes les décompositions possibles. Il apprend à écrire les chiffres de 1 à 6 dans des situations de communication et associe quantité, nom et écriture du nombre.

À partir de 5 ans (GS)

L'enfant compose et décompose les nombres jusqu'à 10 et au-delà. Il mémorise notamment les doubles.
Doubles : $2 + 2 = 4$, $3 + 3 = 6$, $4 + 4 = 8$, $5 + 5 = 10$
Il développe la stratégie du surcomptage en partant du plus grand nombre. Il écrit les chiffres de 1 à 10 dans des situations de communication.

B. Exprimer un rang ou une position par un nombre (ordinalité)

Point de vigilance

La fonction ordinale commence à être travaillée à partir de 4 ans. La simple récitation de la suite des ordinaux ne garantit pas la compréhension de la notion de rang.

Comprendre la notion de rang et de position

Avant 4 ans (PS)

Aucun attendu spécifique n'est fixé concernant la fonction ordinale.

À partir de 4 ans (MS)

L'enfant découvre la notion de rang. Il repère visuellement la position d'un objet dans une suite ordonnée de trois éléments maximum. Il utilise progressivement le comptage pour déterminer le rang d'un objet dans une suite allant jusqu'à six éléments. Il apprend également à se placer à un rang donné dans une file, à déterminer une nouvelle position après un déplacement de une ou deux places et à compléter les premiers éléments d'une bande numérique jusqu'à 6.

À partir de 5 ans (GS)

L'élève identifie visuellement le premier, le dernier, le deuxième ou l'avant-dernier élément d'une suite ordonnée. Il détermine le rang d'un objet dans une suite allant jusqu'à dix éléments grâce au comptage. Il est capable de changer de point de départ ou de sens de parcours pour retrouver un rang. Il détermine une position initiale ou finale à partir d'un déplacement, comprend les liens entre ajout et avancement ainsi qu'entre retrait et recul, et construit la bande numérique jusqu'à 10.

Synthèse des progressions numériques par niveau

Les situations proposées permettent aux élèves d’utiliser les nombres pour résoudre différents types de problèmes :

• Problèmes de réunion, d’ajout et de retrait.
• Problèmes de comparaison.
• Problèmes de groupements et de partage.
• Problèmes de déplacement.

Vigilance GS : Il est nécessaire de proposer des énoncés dont le vocabulaire ne correspond pas directement à l’opération à effectuer.
Exemple L’expression « de plus » peut parfois conduire à une soustraction.

Résoudre des problèmes de type parties-tout et déplacement

Résoudre des problèmes de groupements et de partage équitable

Points de vigilance et rigueur sémantique

L'enseignant doit veiller à utiliser un vocabulaire géométrique rigoureux dès l'école maternelle afin d'éviter l'installation de conceptions erronées.

Recommandation La description et l'observation d'une forme doivent impérativement précéder l'apprentissage de son vocabulaire spécifique.

Distinction conceptuelle clé

• Le tri : il consiste à répartir des objets en exactement deux groupes (les objets possédant une propriété donnée et ceux ne la possédant pas).
• Le classement : il conduit à organiser plusieurs groupes d'objets en fonction d'un même critère.

Reconnaître, trier et classer les solides et les formes planes

Avant 4 ans (PS)

• Reconnaissance visuelle et tactile d'objets partageant la même forme qu'un modèle fourni
• Classement des objets par forme, indépendamment de leurs autres attributs (taille, couleur, etc.)
• Pratique d'exercices d'encastrement pour appréhender que la forme reste invariante malgré les déplacements ou les changements d'orientation

À partir de 4 ans (MS)

• Reconnaissance et classement par la vue et le toucher :
  • Des solides : cube, boule, pyramide à base carrée et cylindre
  • Des formes planes : triangle, carré et disque
• Manipulation dynamique des solides (rotation et retournement) pour réaliser des encastrements
• Activités liées aux empreintes d'objets : associer un solide à son empreinte plane et inversement

À partir de 5 ans (GS)

• Description fine des solides simples : cube, pavé droit, boule, pyramide, cylindre et cône
• Reconnaissance, tri et classement des formes géométriques planes sans distinction de couleur, de taille ou d'orientation
• Description et dénomination du carré, du rectangle, du triangle et du disque dans des configurations spatiales variées
• Première utilisation de la règle comme instrument de tracé

Reproduire des assemblages

La reproduction de configurations spatiales s'appuie sur une progressivité rigoureuse du nombre d'éléments et de la complexité des supports (puzzles, pavages, solides).

Points de vigilance

Il est essentiel de garder à l'esprit deux règles fondamentales :

• La notion de masse n'est introduite qu'à partir de 4 ans. Avant cet âge, les apprentissages se concentrent uniquement sur la longueur.
• La longueur et la masse sont deux grandeurs distinctes : un objet plus long n'est pas nécessairement plus lourd.

Synthèse de la progression des apprentissages

Comparer et ordonner des longueurs

Avant 4 ans (PS)

L'élève construit ses premiers repères visuels :

• Il apprend à identifier et reconnaître un objet ayant la même longueur qu'un objet de référence.
• Il effectue des comparaisons globales et perçoit visuellement les différences lorsque l'écart de taille est marqué.
• Il assimile une méthode de comparaison rigoureuse : aligner les objets sur une même origine.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève commence à verbaliser ses actions et à structurer sa pensée :

• Il effectue la comparaison directe d'objets rectilignes.
• Il est capable de classer et d'ordonner plusieurs objets selon leur taille.
• Il utilise un lexique précis et adapté pour traduire ses observations.
  Vocabulaire « plus long que », « plus court que » ou « de même longueur que ».

À partir de 5 ans (GS)

L'élève accède à des processus de comparaison plus abstraits :

• Il réalise des comparaisons de manière indirecte et sait ordonner des collections allant jusqu'à cinq objets rectilignes.
• Il est capable de fabriquer ou de produire un objet de longueur identique à un modèle donné.
• Il apprend à utiliser un outil intermédiaire de report : la bande témoin.

Comparer et ordonner des masses

Avant 4 ans (PS)

Note Aucun apprentissage spécifique concernant la masse n'est attendu avant 4 ans.

À partir de 4 ans (MS)

L'élève découvre la notion de poids par l'expérimentation physique :

• Il appréhende la masse de deux objets en apprenant à les soupeser (efficace si la différence est significative).
• Il commence à distinguer la notion de masse de celle de volume (un gros objet n'est pas forcément plus lourd).
• Il utilise un instrument de mesure scientifique : la balance de type Roberval pour discriminer des masses proches.
• Il acquiert un vocabulaire de comparaison dédié.
  Vocabulaire « plus lourd que », « plus léger que » et « de même masse que ».

À partir de 5 ans (GS)

L'élève structure ses connaissances logiques et mathématiques :

• Il parvient à classer et ordonner les masses de trois objets et sait formuler ses conclusions.
• Il sait repérer et nommer l'égalité de deux masses distinctes.
• Il utilise la balance de type Roberval pour expérimenter et réaliser des situations d'équilibre.
• Il commence à mobiliser la propriété logique de la transitivité :
  Règle Si un objet $A$ est plus léger qu'un deuxième $B$, et que ce deuxième $B$ est plus léger qu'un troisième $C$, alors le premier $A$ est nécessairement plus léger que le troisième $C$.

Points de vigilance sur l’apprentissage des motifs

L’apprentissage des motifs à l’école maternelle doit respecter des repères de progression précis selon les âges :

• Les motifs répétitifs sont abordés à tous les âges de la maternelle.
• Les motifs évolutifs sont introduits uniquement à partir de la grande section (GS).
• Les situations proposées doivent obligatoirement varier les supports.

Modalités Proposer des situations visuelles, sonores ou gestuelles.
Attention, la traduction formelle des motifs à l’aide de lettres ou de symboles (AABB, ABAB, etc.) ne constitue pas un attendu de l’école maternelle.

Progression pédagogique par âge

Avant 4 ans (PS) : découvrir et reproduire

L’enfant mémorise des motifs répétitifs très simples et les reproduit à l’identique :

• Apprendre à recopier des motifs composés de quelques éléments.
• Reproduire de mémoire des alternances simples.
• Compléter un motif lorsqu’une partie est manquante.

À partir de 4 ans (MS) : identifier et verbaliser

L’élève mémorise des motifs répétitifs simples et apprend à les reconnaître grâce à leurs régularités :

• Décrire oralement des motifs sans recourir à un vocabulaire spécialisé.
• Prolonger une suite en identifiant et en verbalisant la règle qui l’organise.
• Repérer, parmi différentes configurations, celles qui comportent un motif répétitif.
• Identifier un élément intrus qui ne respecte pas l’organisation logique du motif.

À partir de 5 ans (GS) : structurer, transcrire et créer

L’enfant repère et décrit oralement la structure de motifs répétitifs et évolutifs :

• Identifier une organisation indépendamment des éléments utilisés (reconnaître des motifs de même structure représentés différemment).
• Commencer à transcrire un motif visuel simple à l’aide d’autres symboles.
• Passer d’une modalité à une autre en traduisant un motif sonore en motif visuel ou gestuel, et inversement.
• Créer ses propres motifs (visuels, sonores ou gestuels) puis les décrire afin qu’un camarade puisse les reproduire en respectant la règle de construction.