Deux grandeurs (ou listes de nombres) sont proportionnelles lorsque l’on peut obtenir l’une à partir de l’autre, en multipliant par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Si ce n’est pas le cas, la situation n’est pas une situation de proportionnalité.
Compléter un tableau de proportionnalité
Pour compléter un tableau de proportionnalité, on doit trouver son coefficient de proportionnalité : il s’agit de la valeur correspondant à « l’unité ». En utilisant le coefficient de proportionnalité, on complète le tableau à l’aide de multiplications ou de divisions, ou bien on peut le compléter à l’aide d’additions ou de soustractions entre colonnes.
Calculer une quatrième proportionnelle
Dans un tableau de proportionnalité à 4 cases, les produits en croix sont égaux. Connaissant 3 nombres de ce tableau, on peut donc en déduire le quatrième qui est la quatrième proportionnelle.
Pourcentages et échelles
Appliquer un pourcentage
Appliquer un pourcentage à un nombre revient à effectuer une multiplication.
Exemple : $40~\%$ de $60$ est égal à $\dfrac{40}{100} \times 60 = \dfrac{40 \times 60}{100} = \dfrac{2400}{100} = 24$.
Calculer un pourcentage
Calculer un pourcentage revient à compléter un tableau de proportionnalité.
Exemple : Dans un stade contenant $40~000$ places, il y a $28~000$ spectateurs. Calculons le pourcentage de remplissage de ce stade à l’aide d’un tableau de proportionnalité :
Pour représenter une surface ou un objet de grandes dimensions, on le dessine en plus petit en utilisant une échelle, qui est un coefficient de proportionnalité entre les distances réelles et celles sur le dessin.
Je comprends la proportionnalité et j’utilise la règle de 3
Objectif
Reconnaître une situation de proportionnalité et savoir utiliser la règle de 3 pour calculer rapidement des valeurs manquantes.
Pourquoi c'est important?
La proportionnalité est partout dans la vie quotidienne et les maths:
Recettes de cuisine,
Plans, cartes et échelles,
Vitesses et distances,
Pourcentages, réductions, prix
⚠️ Il faut bien identifier les inconnues afin d'utiliser correctement la règle de trois.
Petit rappel
Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand l'une double, triple ou est divisée, l'autre change de la même façon.
Exemple
Tableau de proportionnalité:
Quantité A
Quantité B
2
6
3
9
Ici, $\rm B = A \times 3$ → elles sont proportionnelles.
Chaque quantité $\rm A$ est multipliée par 3 pour obtenir $\rm B$ ou chaque quantité $\rm B$ est divisée par 3 (ou multipliée par $\dfrac{1}{3}$) pour obtenir A
Exemple
$2x + 8 = 2(x + 4)$
On a mis 2 en facteur.
🎯 Les étapes pour assurer
1. Reconnaître la proportionnalité
Indices:
Les rapports sont égaux: $\dfrac{B}{A} = \text{constante}$
On peut multiplier ou diviser chaque ligne par le même nombre pour passer de $\rm A$ à $\rm B.$
2. La règle de 3 (calculer une valeur manquante)
Quand on connaît 3 valeurs dans un tableau de proportionnalité, la quatrième se trouve avec un produit en croix.
Formule (elle varie selon où l'inconnue $x$ se trouve):
$a$
$b$
$c$
$x$
$x = \dfrac{b \times c}{a}$
$a$
$b$
$x$
$c$
$x = \dfrac{a \times c}{b}$
$a$
$x$
$c$
$b$
$x = \dfrac{a \times b}{c}$
$x$
$a$
$b$
$c$
$x = \dfrac{a \times b}{c}$
Exemple
Pour 4 poires, le prix est de 1,50 €.
Combien 20 poires coûtent-elles?
Nombre de poires
Prix en euros
4
1,5
20
$x$
$x = \dfrac{20 \times 1,5}{4} = 7,50$ €
20 poires coûtent 7,50 €.
❌ On évite absolument
Appliquer la règle de 3 hors proportionnalité
Confondre les lignes et colonnes dans le tableau
Oublier de vérifier le résultat (est-il logique?)
✅ On valide
Vérifier la proportionnalité → les rapports doivent être égaux
Poser un tableau → pour bien aligner les grandeurs
