Géométrie

Périmètres des figures usuelles

Aire des figures usuelles

Les triangles usuels et leurs principales propriétés

Les quadrilatères usuels et leurs principales propriétés

Volumes

• Pavé droit (dimensions $a$, $b$ et $c$) : $a \times b \times c$ ;
• Cube (côté $a$) : $a^3$ ;
• Cylindre (rayon de base $\rm R$, hauteur $h$) : $\pi \mathrm R^2 \times h$ ;
• Boule (rayon $\rm R$) : $\displaystyle \frac{4\pi \rm R^3}{3}$.

Théorème de Pythagore 

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a : ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 

Application :

Dans un triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a $\mathrm{AB = 3 \:cm}$ et $\mathrm {BC = 5\: cm}$.

Calculons $\mathrm{AC}$ :

D’après le théorème de Pythagore, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.
$5^2 = 3^2 + {\mathrm{AC}}^2$ donc ${\mathrm{AC}}^2 = 25 - 9 = 16$, puis $\mathrm{AC = \sqrt{16} = 4 \:cm}$.

Réciproque du théorème de Pythagore 

Dans un triangle $\mathrm{ABC}$, si ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$, alors le triangle est rectangle en $\mathrm A$ et le segment $\mathrm{[BC]}$ est l’hypoténuse de ce triangle rectangle.

Théorème de Thalès

Soient $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.

On a deux configurations possibles :

Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\displaystyle \frac{\rm{AM}}{\rm{AB}} = \frac{\rm{AN}}{\rm{AC}} = \frac{\rm{MN}}{\rm{BC}}$.

Objectif

Savoir calculer le périmètre, l'aire ou le volume d'une figure ou d'un solide courant.

Pourquoi c'est important ?

Ces formules sont utiles pour :

• Mesurer la surface d'un terrain, le contour d'une pièce, le volume d'un récipient, etc…
• Résoudre des problèmes de géométrie,

Petit rappel

• Périmètre : longueur du contour d'une figure → exprimé en unités ($\rm{m}$, $\rm{cm}$, $\rm{km}$…).
• Aire : surface occupée par une figure → exprimée en unités$^2$ ($\rm{m}^2$, $\rm{cm}^2$…).
• Volume : espace occupé par un solide → exprimé en unités$^3$ ($\rm{m}^3$, $\rm{cm}^3$…).
• Rayon : distance du centre au bord d'un cercle/sphère.
• Diamètre : $2 \times$ rayon.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les formules de périmètres

⚠️ Le périmètre d'un cercle est aussi sa circonférence.

2. Les formules d'aires

3. Les formules de volumes

❌ On évite absolument

• Mélanger formules d'aire, périmètre et volume.
• Confondre rayon et diamètre.
• Oublier de diviser par 2 pour les triangles, losanges, trapèzes.

✅ On valide

• Identifier la figure avant d'appliquer la formule.
• Vérifier l'unité : périmètre en $\rm{m}$, aire en $\rm{m}^2$, volume en $\rm{m}^3$.
• Pour les cercles et sphères → attention au rayon et au diamètre $(D = 2R).$

Objectif

Savoir reconnaître quand utiliser Pythagore et calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.

Pourquoi c'est important ?

Le théorème de Pythagore sert à :

• Calculer une distance (diagonales, hauteurs, hypoténuses…),
• Résoudre des problèmes de géométrie,
• Vérifier si un triangle est rectangle,
• Applications en architecture, construction, navigation…

⚠️ Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles !

Petit rappel

• Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit ($90°$).
• Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
• Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.

Exemple

Dans ce triangle $\rm{AC}$ est l'hypoténuse et $\rm{AB}$ et $\rm{BC}$ sont les côtés de l'angle droit.

Les étapes pour assurer

1. Énoncé du théorème de Pythagore

Dans un triangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans le triangle $\rm{ABC}$ rectangle en $\rm{B}$ ci-dessus :

$$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$$

Exemple

Dans ce triangle $\rm{ABC}$, $\rm{AB} = 4$ et $\rm{BC} = 5$.

Ainsi l'hypoténuse $\rm{AC}$ est donnée par :

$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$

$\rm{AC}^2 = 4^2 + 5^2$

$\rm{AC}^2 = 16 + 25$

$\rm{AC}^2 = 41$

$\rm{AC} = \sqrt{41} \approx 6,4$ unités de longueur

2. La réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Exemples

• On considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement $3 ~\rm{cm}$, $4 ~\rm{cm}$ et $5 ~\rm{cm}$.
  A-t-on $5^2 = 3^2 + 4^2$ ?
  $25 = 9 + 16$ ✓ donc le triangle considéré est rectangle.

• On considère un autre triangle dont les côtés mesurent respectivement $5~ \rm{cm}$, $6 ~\rm{cm}$ et $7 ~\rm{cm}$.
  A-t-on $7^2 = 5^2 + 6^2$ ?
  $49 \neq 25 + 36$ $\checkmark$ donc le triangle considéré n'est pas rectangle

❌ On évite absolument

• Confondre l'hypoténuse avec un autre côté.
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin.
• Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.

✅ On valide

• Bien identifier l'hypoténuse : c'est le côté le plus long ! Il est toujours en face de l'angle droit.
• Bien écrire la formule avant de remplacer par les valeurs.
• Utiliser la racine carrée pour retrouver la longueur.

Objectif

Comprendre et appliquer le théorème de Thalès pour calculer des longueurs dans des triangles avec des droites parallèles.

Pourquoi c'est important ?

Le théorème de Thalès est un outil clé pour :

• Calculer les longueurs manquantes sans mesurer,
• Résoudre des problèmes de géométrie et de proportionnalité,
• Démontrer que des droites sont parallèles

⚠️ Le théorème de Thalès ne s'applique que dans le cas de droites parallèles !

Petit rappel

• Le théorème de Thalès concerne un triangle traversé par une droite parallèle à l'un de ses côtés
• Cela crée deux triangles semblables → leurs côtés sont proportionnels

Exemple

Les triangles $\mathrm{ADE}$ et $\mathrm{ABC}$ sont semblables.

🏗 Les étapes pour assurer

1. Énoncé du théorème de Thalès

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ ci-dessus, $\mathrm{D}$ appartient à $[\mathrm{AB}]$, $\mathrm{E}$ appartient à $[\mathrm{AC}]$ et les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles. On a alors l'égalité des rapports suivants :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

Exemple

Dans ce triangle $\mathrm{ABC}$, on a : $\mathrm{AB} = 4,24 ~\rm{cm}$, $\mathrm{AC} = 5 ~\rm{cm}$ et $\mathrm{BC} = 7~ \rm{cm}$

On a aussi $\mathrm{AD} = 1,41$ et $\mathrm{AE} = 1,67$

Quelle est la longueur du segment $\mathrm{DE}$ ?

Les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles donc :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

En appliquant le théorème de Thalès :

$$\frac{1,41}{4,24} = \frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

En considérant les deux derniers rapports :

$$\frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

On obtient par une règle de trois :

$$\mathrm{DE} = \frac{1,67 \times 7}{5} \approx 2,3$$

Ainsi $\mathrm{DE} \approx 2,3 ~\rm{cm}$

2. La réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle, on place une droite qui coupe deux côtés, et que les rapports des longueurs sont égaux, alors la droite est parallèle au 3ᵉ côté.

Exemples

Dans la figure ci-dessous, on a :

$\mathrm{AD} = 6~ \rm{cm}$
$\mathrm{AB} = 8 ~\rm{cm}$
$\mathrm{BC} = 4 ~\rm{cm}$

On a :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Et :

$$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} = \frac{3}{4}$$

Les deux rapports étant égaux, les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles.

❌ On évite absolument

• Appliquer Thalès si les droites ne sont pas parallèles.
• Inverser les rapports → toujours comparer les longueurs du même triangle (les petits sur les grands ou les grands sur les petits).
• Oublier de vérifier si le résultat est logique (longueur plus grande ou plus petite que prévu).

✅ On valide

• Vérifier qu'il y a bien un triangle et une droite parallèle au troisième côté.
• Poser le tableau de proportionnalité avant de calculer.
• Multiplier en croix comme une règle de 3.