Automatismes

Simplification de fractions

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul, et $k$ un nombre entier non nul, on a :
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$.

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions il faut :

• mettre les deux fractions au même dénominateur ;
• additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun aux deux fractions.

Exemple : $\displaystyle\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3\times 2}{2\times 2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4}$ $= \dfrac{5}{4}$.

Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux.
Pour $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres entiers naturels avec $b$ et $d$ non nuls, on a :
$\displaystyle \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}$.

Exemple : $\dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3\times 1}{2 \times 4} = \dfrac{3}{8}$.

Multiplication et division de nombres relatifs

• Signe du résultat :
  Le signe du produit (resp. du quotient) de deux nombres relatifs de même signe est $+$.
  Le signe du produit (resp. du quotient) de deux nombres relatifs de signe opposé est $-$.
• Valeur numérique du résultat : 
  La valeur numérique du résultat est le produit (resp. le quotient) des valeurs numériques.

Remarque :
Lorsque l’on effectue le produit (resp. le quotient) de plus de deux nombres relatifs, si le nombre de signes « $–$ » de l’expression est pair, le signe du résultat est « $+$ », et si le nombre de signes « $–$ » est impair,  le signe du résultat est « $ –$ ».

Objectif

Savoir additionner et soustraire des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Savoir additionner ou soustraire des fractions est indispensable : ces calculs apparaissent souvent dans les exercices, les problèmes, les conversions, les durées ou les mesures.

⚠️ On ne peut pas les faire n'importe comment !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{3}{4}$
  • Le chiffre du haut $(3)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(4)$ s'appelle le dénominateur.
• Réduire au même dénominateur : Transformer les deux fractions pour qu'elles aient le même nombre en bas (le dénominateur), tout en changeant aussi le numérateur pour que la valeur reste la même.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les fractions ont déjà le même dénominateur

→ On garde le dénominateur,
→ On additionne ou soustrait les numérateurs.

Exemple

$$\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{7}{8}$$

→ Le dénominateur reste $8$,
→ On additionne juste les numérateurs : $5 + 2 = 7$

2. Les fractions ont des dénominateurs différents

→ On ne peut pas les additionner comme ça.
→ Il faut les transformer pour qu'elles aient le même dénominateur.

Exemple

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$$

Les dénominateurs sont $3$ et $4$ → ils sont différents.

Étape 1 : Chercher un nombre commun à $3$ et $4$ → $12$.

Étape 2 : Transformer les deux fractions :

• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$
• $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$

Étape 3 : Maintenant qu'on a le même dénominateur :

$$\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$$

3. On simplifie si possible (réduction de la fraction)

Quand une fraction peut être réduite, cela signifie que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. On peut alors écrire la fraction sous une forme plus simple.

Méthode

1. Chercher un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Exprimer les deux comme un produit.
3. Simplifier en supprimant ce facteur commun.

Exemple

$$\dfrac{10}{15} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{2}{3}$$

❌ On évite absolument

Additionner ou soustraire des fractions sans être sûr(e) qu'elles soient bien au même dénominateur.

✅ On valide

Réduire au même dénominateur les fractions à additionner ou soustraire.

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir multiplier et diviser des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Ces opérations sont très fréquentes dans :

• Les problèmes complexes,
• Les conversions d'unités,
• Les proportions, aires, volumes, etc.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes de l'addition/soustraction. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{5}{3}$
  • Le chiffre du haut $(5)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(3)$ s'appelle le dénominateur.
• On peut multiplier ou diviser deux fractions sans passer par le même dénominateur.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Multiplier des fractions

Règle : On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{4 \times 3} = \dfrac{10}{12}$$

Puis, on simplifie si possible :

$$\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$$

Astuce
Tu peux simplifier avant de multiplier (si possible), pour éviter les grands nombres.

2. Diviser des fractions

Règle : Diviser par une fraction, c'est la multiplier par son inverse.

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 2} = \dfrac{15}{8}$$

Dans cet exemple, la fraction obtenue ne se simplifie pas.

❌ On évite absolument

• Multiplier en croix comme pour l'addition → erreur !
• Oublier de simplifier le résultat.

✅ On valide

• En multiplication → numérateur $\times$ numérateur, dénominateur $\times$ dénominateur.
• En division → on inverse la deuxième fraction, puis on multiplie.
• Toujours simplifier si possible à la fin.

Le petit + à retenir

Objectif

Reconnaître, développer et utiliser les identités remarquables pour calculer plus vite ou factoriser.

Pourquoi c'est important ?

Les identités remarquables permettent de :

• Développer rapidement des expressions (sans tout réécrire),
• Factoriser pour simplifier des équations,
• Gagner du temps dans les calculs.

Elles apparaissent partout : équations, aires, volumes, problèmes.

⚠️ Il ne faut pas confondre les différentes formules et il faut bien les identifier !

Petit rappel

Une identité remarquable est une égalité mathématique toujours vraie qui simplifie des produits particuliers.

Il en existe 3 principales à connaître au collège.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Carré d'une somme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Exemple

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

2. Carré d'une différence

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Exemple

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

3. Produit d'une somme et d'une différence

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Exemple

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

❌ On évite absolument

• Se tromper de signe dans le double produit $2ab$
• Oublier le double produit $2ab$
• Penser que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ → FAUX et archi FAUX

✅ On valide

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Le petit + à retenir