Principe des tests d’hypothèse

Principe des tests

Un test statistique (ou test d’hypothèse) permet de choisir entre deux hypothèses en fonction des résultats obtenus sur un ou deux échantillons par rapport à un risque $\alpha$ fixé à l’avance (a priori). 

$H_0$= « Il n’y a pas de différence » (hypothèse nulle)

$H_1$= « Il y a une différence » (hypothèse alternative)

L’hypothèse $H_0$ doit toujours être faite sur les paramètres de la population.

Si on rejette $H_0$, on peut conclure qu’il y a une différence significative au risque $\alpha$.

Si on veut savoir s’il existe une différence quel que soit le sens de cette différence, on réalise un test bilatéral (par exemple : $H_1$ : $\mu_A\neq \mu_B$). 

Si on souhaite privilégier un sens, on réalise un test unilatéral. On doit alors préciser l’hypothèse (par exemple : $H_1$ : $\mu_A > \mu_B$).
L’hypothèse alternative doit être posée a priori, avant de réaliser le test.

Méthode de résolution d’un test :
•    On formule les hypothèses $H_0$ et $H_1$ du test
•    On identifie le test à utiliser
•    On se fixe un risque $\alpha$ (par exemple 5%)
•    On vérifie les conditions de validité éventuelles du test
•    On calcule le paramètre du test $z$
•    On détermine la valeur seuil $z_\alpha$ en fonction du risque $\alpha$
•    On conclut le test : si $|z|\geq z_\alpha$, on rejette $H_0$.

En cas de rejet de $H_0$, on peut déterminer le degré de signification (p-value) : c’est la plus petite valeur de risque pour laquelle il y a rejet de $H_0$. On l’obtient par exemple par lecture de la table de l’écart-réduit pour le test $z$.

L’arbre suivant résume les cas possibles à l’issue d’un test statistique :

$\alpha$ est le risque de première espèce.
$1-\alpha$ représente le niveau de confiance.
$\beta$ représente le risque de deuxième espèce.
$1-\beta$ correspond à la puissance du test.