Je maîtrise les probabilités

Objectif

Savoir calculer la probabilité d'un événement simple et l'exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal ou en pourcentage.

Pourquoi c'est important ?

Les probabilités permettent de :

Évaluer des chances dans des situations incertaines (jeux, tirages, tests).
Prendre des décisions éclairées en fonction de la vraisemblance d'un résultat.
Modéliser des phénomènes aléatoires en science, économie, assurance, médecine…
Décomposer des situations complexes avec des événements conditionnels.

Petit rappel

Probabilité : c'est la chance qu'un événement se produise, exprimée entre 0 (impossible) et 1 (certain).
On peut l'écrire sous trois formes équivalentes :
- Fraction (par exemple $\dfrac{1}{4}$)
- Décimal (par exemple 0,25)
- Pourcentage (par exemple 25 %)
La somme des probabilités de tous les résultats possibles vaut 1.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Formule de base

$$P(\mathrm{événement}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}}$$

Exemples

Avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces : $$P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{1}{6}$$
Tirer un as dans un jeu de 32 cartes : $$P(\mathrm{avoir~un~as}) = \dfrac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$$

2. Probabilité de l'union de deux événements

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

3. Les différents événements•

L'événement contraire ou le complémentaire

L'événement contraire d'un événement A est noté $\overline{A}$.
Sa probabilité est donnée par :

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

Exemples

Ne pas avoir la face 6 en lançant une fois un dé équilibré à 6 faces : $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~la~face~6}) = 1 - P(\mathrm{avoir~la~face~6}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$$
Ne pas tirer un as dans un jeu de 32 cartes : $$P(\mathrm{ne~pas~avoir~un~as}) = 1 - P(\mathrm{avoir~un~as}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$$
Les événements incompatibles

Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints (on note $A \cap B = \emptyset$) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. La probabilité de leur intersection est nulle :

$$P(A \cap B) = 0$$

⚠️ Un événement et son complémentaire sont toujours incompatibles !

Exemple
La probabilité d'avoir son bac et de ne pas l'avoir est nulle.

➡️ La probabilité de l'union de deux événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque événement :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Les événements indépendants

Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas celle de l'autre.

La probabilité de l'intersection de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités des deux événements :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

➡️ La probabilité de l'union de deux événements indépendants est égale à :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)$$

4. Les probabilités conditionnelles

La probabilité de A sachant que B est réalisé est donnée par :

$$P_B(A) = P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

❌ On évite absolument

Confondre cas favorables et cas possibles.
Penser qu'une probabilité > 1 ou < 0 est possible ⇒ FAUX et archi FAUX !
Confondre événements incompatibles et événements indépendants.

✅ On valide

Identifier si les événements sont incompatibles ou indépendants.
Pour une conditionnelle, penser à "réduire l'univers" à la condition donnée.
Vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut 1.