Je calcule des intégrales
Objectif
Comprendre la notion d'intégrale définie et savoir l'utiliser pour calculer des aires, des valeurs accumulées ou des grandeurs physiques.
Pourquoi c'est important ?
Les intégrales permettent de :
- Calculer des aires sous les courbes.
- Évaluer des valeurs cumulées (distance à partir de la vitesse, coût total, quantité produite…).
- Résoudre des problèmes en physique, économie, biologie.
Petit rappel
- L'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ : elle représente l'aire entre la courbe $y = f(x)$ et l'axe des abscisses de $x = a$ à $x = b$.
$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx$$
- Si $F$ est une primitive de $f$, alors :
$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
🔧 Les étapes pour assurer
1. Propriétés
- Relation de Chasles de l'intégrale
$$\displaystyle \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$$
- Multiplication par un scalaire $\lambda$ où $\lambda$ est un réel
$$\displaystyle \int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$$
- Linéarité où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles
$$\displaystyle \int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b f(x)dx$$
- Symétrie
$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$
2. Astuces calculatoires
- Intégrale nulle :
$$\displaystyle \int_a^a f(x)dx = 0$$
- Si $f$ est paire :
$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$$
- Si $f$ est impaire :
$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 0$$
Exemples
Calcul d'une primitive $F$ des fonctions $f$ suivantes
- $I_1 = \displaystyle \int_{-1}^2 2x dx$
$I_1 = [x^2]_{-1}^2 = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$
- $I_2 = \displaystyle \int_1^2 x^2 dx$
$I_2 = \left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_1^2 = \dfrac{1}{3} \times 2^3 - \dfrac{1}{3} \times 1^3 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$
- $I_3 = \displaystyle \int_1^{\rm e} \dfrac{1}{x} dx$
$I_3 = [\ln |x|]_1^{\rm e} = \ln|{\rm e}| - \ln|1| = \ln({\rm e}) - \ln(1) = 1 - 0$
- $I_4 = \displaystyle \int_0^1 {\rm e}^x dx$
$I_4 = [{\rm e}^x]_0^1 = {\rm e}^1 - {\rm e}^0 = {\rm e} - 1$
- $I_5 = \displaystyle \int_0^1 3{\rm e}^{2x} dx$
$I_5 = \left[\dfrac{3}{2}{\rm e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{3}{2}{\rm e}^2 - \dfrac{3}{2}{\rm e}^0 = \dfrac{3}{2}{\rm e} - \dfrac{3}{2}$
❌ On évite absolument
- Oublier que l'intégrale peut être négative si la courbe est sous l'axe des abscisses.
- Se tromper de primitive → vérifier la dérivée.
- Inverser les bornes sans changer le signe.
✅ On valide
- Identifier la fonction à intégrer et ses bornes.
- Vérifier que l'intégrale est bien définie sur l'intervalle.
- Au moment d'intégrer, pas besoin d'ajouter la constante d'intégration car elle s'annule forcément en effectuant la différence lors du calcul de l'intégrale.