Je calcule des dérivées
Objectif
Comprendre la notion de dérivée et savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.
Pourquoi c'est important ?
Les dérivées sont essentielles pour :
- Étudier la variation d'une fonction (croissance/décroissance).
- Trouver les maxima et minima (optimisation).
- Modéliser des vitesses instantanées ou taux de variation en physique, économie, biologie…
- Comprendre et utiliser les tangentes à une courbe.
Petit rappel
- La dérivée d'une fonction $f$ en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
- Notations : $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$
- Interprétation :
- $f'(x) > 0$ → fonction croissante
- $f'(x) = 0$ → fonction constante
- $f'(x) < 0$ → fonction décroissante
🪜 Les étapes pour assurer
1. Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\ln(x)$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
2. Règles de calcul des dérivées
- Somme et différence
$(u + v)' = u' + v'$
$(u - v)' = u' - v'$
- Produit
$(uv)' = u'v + uv'$
- Quotient
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- Composition
$(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)$
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $u + v$ | $u' + v'$ |
| $u - v$ | $u' - v'$ |
| $uv$ | $u'v + uv'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\ln(u)$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
| $\mathrm e^u$ | $u'\mathrm e^u$ |
| $\sin(u)$ | $u'\cos(u)$ |
| $\cos(u)$ | $-u'\sin(u)$ |
Exemples
- $f(x) = x^2 + 3x + 2$
$f'(x) = 2x + 3$
- $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$
$f'(x) = \dfrac{2 \times x - (2x + 1) \times 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$
- $f(x) = \mathrm e^{3x}$
$f'(x) = 3\mathrm e^{3x}$
- $f(x) = \ln(x^2)$
$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$
- $f(x) = \cos(2x)$
$f'(x) = -2\sin(2x)$
❌ On évite absolument
- Oublier de multiplier par la dérivée intérieure dans une fonction composée.
- Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
- Dériver de tête sans vérifier les règles.
✅ On valide
- Bien identifier la forme (somme, produit, quotient, composée) avant d'appliquer les règles.
- Vérifier si la fonction contient une composition.
- Simplifier après avoir dérivé.