Je comprends le théorème de Pythagore
Objectif
Savoir reconnaître quand utiliser Pythagore et calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.
Pourquoi c'est important ?
Le théorème de Pythagore sert à :
- Calculer une distance (diagonales, hauteurs, hypoténuses…),
- Résoudre des problèmes de géométrie,
- Vérifier si un triangle est rectangle,
- Applications en architecture, construction, navigation…
⚠️ Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles !
Petit rappel
- Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit ($90°$).
- Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
- Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.
Exemple
Dans ce triangle $\rm{AC}$ est l'hypoténuse et $\rm{AB}$ et $\rm{BC}$ sont les côtés de l'angle droit.
Les étapes pour assurer
1. Énoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans le triangle $\rm{ABC}$ rectangle en $\rm{B}$ ci-dessus :
$$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$$
Exemple
Dans ce triangle $\rm{ABC}$, $\rm{AB} = 4$ et $\rm{BC} = 5$.
Ainsi l'hypoténuse $\rm{AC}$ est donnée par :
$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$
$\rm{AC}^2 = 4^2 + 5^2$
$\rm{AC}^2 = 16 + 25$
$\rm{AC}^2 = 41$
$\rm{AC} = \sqrt{41} \approx 6,4$ unités de longueur
2. La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.
Exemples
- On considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement $3 ~\rm{cm}$, $4 ~\rm{cm}$ et $5 ~\rm{cm}$.
A-t-on $5^2 = 3^2 + 4^2$ ?
$25 = 9 + 16$ ✓ donc le triangle considéré est rectangle.
- On considère un autre triangle dont les côtés mesurent respectivement $5~ \rm{cm}$, $6 ~\rm{cm}$ et $7 ~\rm{cm}$.
A-t-on $7^2 = 5^2 + 6^2$ ?
$49 \neq 25 + 36$ $\checkmark$ donc le triangle considéré n'est pas rectangle
❌ On évite absolument
- Confondre l'hypoténuse avec un autre côté.
- Oublier de prendre la racine carrée à la fin.
- Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
✅ On valide
- Bien identifier l'hypoténuse : c'est le côté le plus long ! Il est toujours en face de l'angle droit.
- Bien écrire la formule avant de remplacer par les valeurs.
- Utiliser la racine carrée pour retrouver la longueur.