Je maîtrise les formules de périmètres, d’aires et de volumes
Objectif
Savoir calculer le périmètre, l'aire ou le volume d'une figure ou d'un solide courant.
Pourquoi c'est important ?
Ces formules sont utiles pour :
- Mesurer la surface d'un terrain, le contour d'une pièce, le volume d'un récipient, etc…
- Résoudre des problèmes de géométrie,
Petit rappel
- Périmètre : longueur du contour d'une figure → exprimé en unités ($\rm{m}$, $\rm{cm}$, $\rm{km}$…).
- Aire : surface occupée par une figure → exprimée en unités$^2$ ($\rm{m}^2$, $\rm{cm}^2$…).
- Volume : espace occupé par un solide → exprimé en unités$^3$ ($\rm{m}^3$, $\rm{cm}^3$…).
- Rayon : distance du centre au bord d'un cercle/sphère.
- Diamètre : $2 \times$ rayon.
🪜 Les étapes pour assurer
1. Les formules de périmètres
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré | $\mathcal P = 4c$ | $c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 4 \times 2 = 8~ \rm{m}$ |
| Rectangle | $\mathcal P = 2 \times (L + \ell)$ | $L = 3 ~\rm{m}$, $\ell = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2 \times (3 + 2) = 10 ~\rm{m}$ |
| Cercle | $2\pi R$ | $R = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2\pi \times 4 = 8\pi ~\rm{m}$ |
⚠️ Le périmètre d'un cercle est aussi sa circonférence.
2. Les formules d'aires
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré | $\mathcal A = c^2$ | $c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2^2 = 4~ \rm{m}^2$ |
| Rectangle | $\mathcal A = L \times \ell$ | $L = 5~ \rm{m}$, $\ell = 4 \rm{m} \rightarrow \mathcal A = 5 \times 4 = 20~ \rm{m}^2$ |
| Triangle | $\mathcal A = \dfrac{b \times h}{2}$ | $b = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10~ \rm{m}^2$ |
| Parallélogramme | $\mathcal A = b \times h$ | $b = 2 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2 \times 4 = 8~ \rm{m}^2$ |
| Trapèze | $\mathcal A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$ | $B = 3~ \rm{m}$, $b = 2 \rm{m}$, $h = 4~ \rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{(3 + 2) \times 4}{2} = 10 ~\rm{m}^2$ |
| Cercle | $\pi R^2$ | $R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \pi \times 3^2 = 9\pi ~\rm{m}^2$ |
3. Les formules de volumes
| Solide | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Cube | $\mathcal V = c^3$ | $c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 2^3 = 8 ~\rm{m}^3$ |
| Pavé droit | $\mathcal V = L \times \ell \times h$ | $L = 5 ~\rm{m}$, $l = 4 \rm{m}$, $h = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 5 \times 4 \times 3 = 60 ~\rm{m}^3$ |
| Cylindre | $\mathcal V = \pi R^2 h$ | $R = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \pi \times 5^2 \times 4 = 100\pi ~\rm{m}^3$ |
| Pyramide | $\mathcal V = \dfrac{\mathcal A \times h}{3}$ $\mathcal A$ : aire de base |
$\mathcal A = 12 ~\rm{m}^2$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{12 \times 4}{3} = 16 ~\rm{m}^3$ |
| Cône | $\mathcal V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$ | $R = 6 \rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{\pi \times 6^2 \times 4}{3} = 48\pi ~\rm{m}^3$ |
| Sphère | $\mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ | $R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi ~\rm{m}^3$ |
❌ On évite absolument
- Mélanger formules d'aire, périmètre et volume.
- Confondre rayon et diamètre.
- Oublier de diviser par 2 pour les triangles, losanges, trapèzes.
✅ On valide
- Identifier la figure avant d'appliquer la formule.
- Vérifier l'unité : périmètre en $\rm{m}$, aire en $\rm{m}^2$, volume en $\rm{m}^3$.
- Pour les cercles et sphères → attention au rayon et au diamètre $(D = 2R).$