Je comprends et j’utilise les statistiques
Objectif
Lire, organiser et analyser des données statistiques, et calculer les indicateurs (moyenne, médiane, étendue, pourcentages).
Pourquoi c'est important ?
Les statistiques permettent de :
- Synthétiser un grand nombre d'informations en quelques valeurs clés.
- Observer et comparer des groupes ou des évolutions.
- Prendre des décisions basées sur des faits chiffrés.
- Mettre en évidence des tendances ou anomalies dans les données.
- Sont utilisées partout : sport, économie, sciences, sondages, météo…
Petit rappel
Statistiques : ensemble de méthodes pour recueillir, organiser et analyser des données.
Les données peuvent être :
- Qualitatives : catégories, couleurs, choix
- Quantitatives : mesures, nombres
- Quantitatives discrètes : nombre d'enfants par ménage, etc.
- Quantitatives continues : données classées par intervalles (ou classes).
On les représente souvent avec tableaux ou graphes (diagrammes, histogrammes…).
🔧 Les étapes pour assurer
1. Organisation des données
- Effectif : nombre d'éléments dans une catégorie, noté $n_i$
- Effectif total : somme de tous les effectifs, noté $n$
- Fréquence, notée $f_i$ :
$$\mathrm{Fréquence} = \dfrac{\mathrm{effectif}}{\mathrm{effectif~total}}$$ $$f_i = \dfrac{n_i}{n}$$
Exemple
Dans une classe de 30 élèves, 12 ont pris l'option anglais.
La fréquence d'élèves qui ont pris l'anglais est de :
$$f_i = \dfrac{12}{20} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0,6 = 60\%$$
2. Les indicateurs statistiques
- Indicateur de tendance centrale
- Moyenne, notée $\bar{x}$ :
$$\mathrm{Moyenne} = \dfrac{\mathrm{somme~des~valeurs}}{\mathrm{nombre~de~valeurs}}$$ $$\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$$
Exemple
Un élève a eu 3, 7, 10, 14, 17 comme notes en mathématiques au premier trimestre.
Sa moyenne est de :
$$\bar{x} = \dfrac{3 + 7 + 10 + 14 + 17}{5} = \dfrac{51}{5} = 10,2$$
- Médiane, notée $Me$ : valeur qui partage les données en deux groupes égaux.
Une fois les données classées par ordre croissant :
- Si l'effectif total est impair : la médiane est la valeur du milieu.
- Si l'effectif total est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.
Exemples
- Au dernier test de mathématiques, les notes des élèves sont les suivantes : 8, 12, 3, 14, 20
- → On classe les notes par ordre croissant : 3, 8, 12, 14, 20
- → Il y a 5 notes, donc l'effectif total est égal à 5 et est impair.
- → La médiane est la note du milieu une fois celles-ci classées par ordre croissant : $Me = 12$
- Au dernier test de mathématiques, les notes des élèves sont les suivantes : 8, 12, 3, 14, 1, 20
- → On classe les notes par ordre croissant : 1, 3, 8, 12, 14, 20
- → Il y a 6 notes, donc l'effectif total est égal à 6 et est pair.
- → La médiane est la moyenne des deux notes du milieu une fois celles-ci classées par ordre croissant :
$$Me = \dfrac{8 + 12}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$$
- Indicateurs de dispersion
- Étendue, notée $e$ : différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur
$$e = \mathrm{valeur~max} - \mathrm{valeur~min}$$
Exemple
Un élève a eu 3, 7, 10, 14, 17 comme notes en mathématiques au premier trimestre.
L'étendue de ses notes est de :
$$e = 17 - 3 = 14$$
- Variance, notée $s_x^2$ :
$$\mathrm{Variance} = \dfrac{\mathrm{somme~des~carrés~des~valeurs}}{\mathrm{nombre~de~valeurs}} - \mathrm{carré~de~la~moyenne}$$ $$s_x^2 = \dfrac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$$
- Écart-type, noté $s_x$ : racine carrée de la variance
$$\mathrm{Écart~type} = \sqrt{\mathrm{variance}}$$ $$s_x = \sqrt{s_x^2}$$
Exemple
Un élève a eu 3, 7, 10, 14, 17 comme notes en mathématiques au premier trimestre.
La variance est de :
$$s_x^2 = \dfrac{3^2 + 7^2 + 10^2 + 14^2 + 17^2}{5} - (10,2)^2 = \dfrac{9 + 49 + 100 + 196 + 289}{5} - 104,04$$ $$= \dfrac{643}{5} - 104,04 = 128,6 - 104,04 = 24,56$$
L'écart-type est de :
$$s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{24,56} \approx 4,96$$
3. Les représentations graphiques
- Diagramme en bâtons : pour comparer des catégories
- Histogramme : pour des données continues (classes d'intervalles)
- Diagramme circulaire : pour représenter des parts en %
- Courbe : pour suivre une évolution
❌ On évite absolument
- Confondre moyenne et médiane (elles peuvent être très différentes).
- Oublier les unités dans les données.
- Oublier de classer les données par ordre croissant lorsque tu calcules la médiane.
✅ On valide
- Identifier les indicateurs de tendance centrale et les indicateurs de dispersion.
- Ne pas oublier de classer les données par ordre croissant lorsque tu calcules la médiane.
- Une variance est toujours positive ! Sinon tu ne peux pas calculer l'écart-type qui est sa racine carrée !