Je calcule des primitives
Objectif
Comprendre la notion de primitive et savoir calculer les primitives des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.
Pourquoi c'est important ?
Les primitives sont utilisées pour :
- Calculer des aires sous les courbes (intégrales).
- Résoudre des équations différentielles.
- Modéliser des phénomènes cumulatifs (distance à partir de la vitesse, volume à partir du débit…).
Petit rappel
- UNE primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que : $$F'(x) = f(x)$$
⚠️ Il existe une infinité de primitives pour une même fonction, c'est pourquoi on dit UNE primitive. Lorsque l'article défini LA est utilisé c'est que la primitive cherchée vérifie une condition particulière qui la rend unique.
🔧 Les étapes pour assurer
1. Primitives des fonctions usuelles
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ | $kx$ |
| $x$ | $\dfrac{1}{2}x^2$ |
| $x^2$ | $\dfrac{1}{3}x^3$ |
| $x^3$ | $\dfrac{1}{4}x^4$ |
| $x^n$ | $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln |x|$ |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
2. Règles de calcul des primitives
- Somme et différence
$$\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$ $$\int (f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$$
- Multiplication par une constante $\lambda$
$$\int \lambda \times f(x)dx = \lambda \times \int f(x)dx$$
Exemples
Calcul d'une primitive $F$ des fonctions $f$ suivantes
- $f(x) = 2x$ $$F(x) = \dfrac{2x^2}{2} + C = x^2 + C$$
- $f(x) = \dfrac{3}{x}$ $$F(x) = 3 \ln\vert x \vert + C$$
- $f(x) = \mathrm e^{3x}$ $$F(x) = \dfrac{1}{3}\mathrm e^{3x} + C$$
- $f(x) = \cos(2x)$ $$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$$
- $f(x) = 3\mathrm e^{2x}$ $$F(x) = \dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x}$$
❌ On évite absolument
- Oublier la constante d'intégration $C$.
- Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
- Dire LA primitive de $f$ au lieu d'UNE primitive de $f$.
✅ On valide
- Toujours ajouter une constante $C$ à la fin du calcul.
- En dérivant une primitive vous devez retomber sur la fonction originale.
- Identifier si la fonction correspond à une forme usuelle.
Le petit + à retenir