Je calcule avec les racines carrées
Objectif
Savoir reconnaître, calculer et utiliser les racines carrées dans des calculs simples.
Pourquoi c'est important ?
Les racines carrées sont utiles pour :
- Résoudre des équations et des problèmes de géométrie (théorème de Pythagore),
- Calculer des distances et des diagonales,
- Travailler avec des aires et des volumes,
- Simplifier des expressions mathématiques.
⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !
Petit rappel
- Racine carrée : La racine carrée d'un nombre $a$ est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $a$.
$$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$$
- On la note $\sqrt{a}$
Exemple
$$\sqrt{9} = \sqrt{3 \times 3} = 3$$
⚠️ On ne prend que la valeur positive en racine carrée simple.
- $\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$
🪜 Les étapes pour assurer
1. Produit sous la racine
$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Exemple
$$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$$
2. Division sous la racine
$$\sqrt{a \div b} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
Exemple
$$\sqrt{16 \div 25} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0,8$$
3. Carré et racine carrée s'annulent
$$\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$$
Exemple
$$\sqrt{5^2} = 5$$
4. La racine carrée d'un nombre est ce nombre élevé à la puissance ½
$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$
Exemple
$$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$$
❌ On évite absolument
- Penser que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ → FAUX et archi FAUX !
- Oublier que la racine carrée est positive par défaut
- Essayer de calculer la racine carrée d'un nombre négatif (dans $\mathbb{R}$)
✅ On valide
- Racine d'un produit → $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- Racine d'un quotient → $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- Racine d'un carré → $\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$
- Nombre exact : $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$, etc.