Je calcule avec les puissances
Objectif
Comprendre et savoir calculer les puissances d'un nombre (positives et simples), et utiliser les règles de calcul associées.
Pourquoi c'est important ?
Les puissances apparaissent :
- Dans les calculs scientifiques,
- Dans les aires et volumes,
- Ou les écritures simplifiées comme la notation scientifique.
⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !
Petit rappel
- Puissance : Une puissance, c'est une multiplication répétée d'un même nombre.
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}$$
- $a$ : la base = le nombre à multiplier
- $n$ : l'exposant = le nombre de fois qu'on multiplie
🔧 Les étapes pour assurer
1. Cas particuliers
- Puissance de 0
$$0^n = 0, n > 0$$
Exemple
$$0^3 = 0$$
- Puissance de 1
$$1^n = 1, \text{ pour tout } n$$
Exemple
$$1^4 = 1$$
- Exposant 0
$$a^0 = 1, \text{ pour tout } a$$
Exemple
$$4^0 = 1$$
- Exposant 1
$$a^1 = a, \text{ pour tout } a$$
Exemple
$$3^1 = 3$$
2. Les règles de calcul
- Multiplier les puissances
$$x^a \times x^b = x^{a+b}$$
Exemple
$$3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$$
- Diviser les puissances
$$x^a \div x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$
Exemple
$$3^4 \div 3^2 = \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$$
- Inverse d'une puissance
$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$
Exemple
$$\frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$
- Puissance d'une puissance
$$(x^a)^b = x^{a \times b}$$
Exemple
$$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$$
❌ On évite absolument
- Confondre $x^n$ et $x \times n$ → ce n'est pas la même chose !
- Appliquer les règles de calcul avec des bases différentes
✅ On valide
- Même base en multiplication → $x^a \times x^b = x^{a+b}$
- Même base en division → $x^a \div x^b = x^{a-b}$
- Puissance d'une puissance → $(x^a)^b = x^{a \times b}$
Le petit + à retenir