Nombres rationnels
Simplification de fractions, fractions égales
Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul et $k$ un nombre entier non nul, on a :
$$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k} .$$
Exemples
- $\dfrac{21}{15} = \dfrac{7\times 3}{5\times 3} = \dfrac{7}{5}$.
- Pour compléter l'égalité de fractions $\dfrac{7}{4} = \dfrac{...}{20}$, on remarque que $20 = 5\times 4$ et que $5\times 7 = 35$. On a donc $\dfrac{7}{4} = \dfrac{35}{20}$.
Comparaison de fractions
Pour comparer des fractions, il faut :
- mettre les fractions au même dénominateur, si elles n'y sont pas déjà ;
- comparer les numérateurs des fractions qui sont au même dénominateur.
Exemple
Pour comparer les fractions $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{11}{20}$, on les met au même dénominateur : ici, $20 = 5\times 4.$
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\times 4}{5\times 4} = \dfrac{12}{20} > \dfrac{11}{20}$
car $12 > 11$.
Méthode pour additionner ou soustraire des fractions
Pour effectuer ces opérations, il faut :
- mettre les deux fractions au même dénominateur si elles n'y sont pas déjà ;
- additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun aux deux fractions.
Exemple
Le plus petit multiple commun de $10$ et $4$ est $20.$
$\displaystyle \frac{3}{10} - \frac{1}{4}$ $= \displaystyle \frac{3\times 2}{10\times 2} - \frac{1\times 5}{4\times 5}$ $= \displaystyle \frac{6}{20} - \frac{5}{20}$ $= \dfrac{1}{20}$.
