Volumes

Formules de volumes

Solides à base rectangulaire

Pour les solides ayant une base rectangulaire, le calcul du volume dépend de la forme spécifique du solide.

 

• Parallélépipède rectangle ou pavé droit (dimensions $L$, $l$ et $h$) : $L \times l \times h$
• Cube (côté $c$) : $c^3$

Solides de révolution

Les solides de révolution sont obtenus par rotation d'une figure plane autour d'un axe.

• Cylindre (rayon de base $\rm r$, hauteur $h$) : $\pi \mathrm r^2 \times h$
• Cône (rayon de base $r$, hauteur $h$) : $\displaystyle \frac{B \times h}{3} = \frac{\pi r^2\times h}{3}$
• Boule (rayon $r$) : $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$

Solides à base quelconque

Pour une pyramide, le volume se calcule à partir de l'aire de sa base et de sa hauteur.

• Pyramide (aire de base $\mathcal A_{base}$, hauteur $h$) : $\displaystyle \frac{\mathcal A_{base} \times h}{3}$

Rappel : le nombre $\pi$
Le nombre $\pi$ (qui se lit « pi ») est un nombre utilisé pour les calculs liés au cercle et aux solides de révolution (cylindre, cône, boule).
C'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie.

Sa valeur approchée est :

$$\pi \approx 3,14$$

Pour les calculs, 

• utiliser la touche $\pi$ de la calculatrice ;
• ou prendre l'approximation $\pi \approx 3,14$ lorsque l'énoncé le demande.

EN RÉSUMÉ

Objectif

Savoir calculer le périmètre, l'aire ou le volume d'une figure ou d'un solide courant.

Pourquoi c'est important ?

Ces formules sont utiles pour :

• Mesurer la surface d'un terrain, le contour d'une pièce, le volume d'un récipient, etc…
• Résoudre des problèmes de géométrie,

Petit rappel

• Périmètre : longueur du contour d'une figure → exprimé en unités ($\rm{m}$, $\rm{cm}$, $\rm{km}$…).
• Aire : surface occupée par une figure → exprimée en unités$^2$ ($\rm{m}^2$, $\rm{cm}^2$…).
• Volume : espace occupé par un solide → exprimé en unités$^3$ ($\rm{m}^3$, $\rm{cm}^3$…).
• Rayon : distance du centre au bord d'un cercle/sphère.
• Diamètre : $2 \times$ rayon.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les formules de périmètres

Figure	Formule	Exemple
Carré	$\mathcal P = 4c$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 4 \times 2 = 8~ \rm{m}$
Rectangle	$\mathcal P = 2 \times (L + \ell)$	$L = 3 ~\rm{m}$, $\ell = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2 \times (3 + 2) = 10 ~\rm{m}$
Cercle	$2\pi R$	$R = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2\pi \times 4 = 8\pi ~\rm{m}$

⚠️ Le périmètre d'un cercle est aussi sa circonférence.

2. Les formules d'aires

Figure	Formule	Exemple
Carré	$\mathcal A = c^2$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2^2 = 4~ \rm{m}^2$
Rectangle	$\mathcal A = L \times \ell$	$L = 5~ \rm{m}$, $\ell = 4 \rm{m} \rightarrow \mathcal A = 5 \times 4 = 20~ \rm{m}^2$
Triangle	$\mathcal A = \dfrac{b \times h}{2}$	$b = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10~ \rm{m}^2$
Parallélogramme	$\mathcal A = b \times h$	$b = 2 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2 \times 4 = 8~ \rm{m}^2$
Trapèze	$\mathcal A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$	$B = 3~ \rm{m}$, $b = 2 \rm{m}$, $h = 4~ \rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{(3 + 2) \times 4}{2} = 10 ~\rm{m}^2$
Cercle	$\pi R^2$	$R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \pi \times 3^2 = 9\pi ~\rm{m}^2$

3. Les formules de volumes

Solide	Formule	Exemple
Cube	$\mathcal V = c^3$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 2^3 = 8 ~\rm{m}^3$
Pavé droit	$\mathcal V = L \times \ell \times h$	$L = 5 ~\rm{m}$, $l = 4 \rm{m}$, $h = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 5 \times 4 \times 3 = 60 ~\rm{m}^3$
Cylindre	$\mathcal V = \pi R^2 h$	$R = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \pi \times 5^2 \times 4 = 100\pi ~\rm{m}^3$
Pyramide	$\mathcal V = \dfrac{\mathcal A \times h}{3}$ $\mathcal A$ : aire de base	$\mathcal A = 12 ~\rm{m}^2$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{12 \times 4}{3} = 16 ~\rm{m}^3$
Cône	$\mathcal V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$	$R = 6 \rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{\pi \times 6^2 \times 4}{3} = 48\pi ~\rm{m}^3$
Sphère	$\mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$	$R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi ~\rm{m}^3$

❌ On évite absolument

• Mélanger formules d'aire, périmètre et volume.
• Confondre rayon et diamètre.
• Oublier de diviser par 2 pour les triangles, losanges, trapèzes.

✅ On valide

• Identifier la figure avant d'appliquer la formule.
• Vérifier l'unité : périmètre en $\rm{m}$, aire en $\rm{m}^2$, volume en $\rm{m}^3$.
• Pour les cercles et sphères → attention au rayon et au diamètre $(D = 2R).$

Le petit + à retenir