Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

Soient $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.

Configurations possibles

Il y a deux configurations possibles :

Énoncé du théorème

Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\rm \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

Réciproque du théorème de Thalès

Soient $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.

Énoncé de la réciproque

Si on a l'égalité $\rm \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles.

EN RÉSUMÉ

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Objectif

Comprendre et appliquer le théorème de Thalès pour calculer des longueurs dans des triangles avec des droites parallèles.

Pourquoi c'est important ?

Le théorème de Thalès est un outil clé pour :

• Calculer les longueurs manquantes sans mesurer,
• Résoudre des problèmes de géométrie et de proportionnalité,
• Démontrer que des droites sont parallèles

⚠️ Le théorème de Thalès ne s'applique que dans le cas de droites parallèles !

Petit rappel

• Le théorème de Thalès concerne un triangle traversé par une droite parallèle à l'un de ses côtés
• Cela crée deux triangles semblables → leurs côtés sont proportionnels

Exemple

Les triangles $\mathrm{ADE}$ et $\mathrm{ABC}$ sont semblables.

🏗 Les étapes pour assurer

1. Énoncé du théorème de Thalès

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ ci-dessus, $\mathrm{D}$ appartient à $[\mathrm{AB}]$, $\mathrm{E}$ appartient à $[\mathrm{AC}]$ et les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles. On a alors l'égalité des rapports suivants :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

Exemple

Dans ce triangle $\mathrm{ABC}$, on a : $\mathrm{AB} = 4,24 ~\rm{cm}$, $\mathrm{AC} = 5 ~\rm{cm}$ et $\mathrm{BC} = 7~ \rm{cm}$

On a aussi $\mathrm{AD} = 1,41$ et $\mathrm{AE} = 1,67$

Quelle est la longueur du segment $\mathrm{DE}$ ?

Les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles donc :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

En appliquant le théorème de Thalès :

$$\frac{1,41}{4,24} = \frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

En considérant les deux derniers rapports :

$$\frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

On obtient par une règle de trois :

$$\mathrm{DE} = \frac{1,67 \times 7}{5} \approx 2,3$$

Ainsi $\mathrm{DE} \approx 2,3 ~\rm{cm}$

2. La réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle, on place une droite qui coupe deux côtés, et que les rapports des longueurs sont égaux, alors la droite est parallèle au 3ᵉ côté.

Exemples

Dans la figure ci-dessous, on a :

$\mathrm{AD} = 6~ \rm{cm}$
$\mathrm{AB} = 8 ~\rm{cm}$
$\mathrm{BC} = 4 ~\rm{cm}$

On a :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Et :

$$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} = \frac{3}{4}$$

Les deux rapports étant égaux, les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles.

❌ On évite absolument

• Appliquer Thalès si les droites ne sont pas parallèles.
• Inverser les rapports → toujours comparer les longueurs du même triangle (les petits sur les grands ou les grands sur les petits).
• Oublier de vérifier si le résultat est logique (longueur plus grande ou plus petite que prévu).

✅ On valide

• Vérifier qu'il y a bien un triangle et une droite parallèle au troisième côté.
• Poser le tableau de proportionnalité avant de calculer.
• Multiplier en croix comme une règle de 3.

 

Le petit + à retenir