La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$.
Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.
Exemple
$5^2 = 25$ et $5$ est positif donc $\sqrt{25} = 5$.
Théorème de Pythagore
Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a : ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Application
Dans un triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a $\mathrm{AB = 3 \:cm}$ et $\mathrm{BC = 5\: cm}$.
Calculons $\mathrm{AC}$ :
D'après le théorème de Pythagore, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$. $5^2 = 3^2 + {\mathrm{AC}}^2$ donc ${\mathrm{AC}}^2 = 25 - 9 = 16$, puis $\mathrm{AC = \sqrt{16} = 4 \:cm}$.
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle $\mathrm{ABC}$, si ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$, alors le triangle est rectangle en $\mathrm A$ et le segment $\mathrm{[BC]}$ est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Savoir reconnaître quand utiliser Pythagore et calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.
Pourquoi c'est important?
Le théorème de Pythagore sert à:
Calculer une distance (diagonales, hauteurs, hypoténuses…),
Résoudre des problèmes de géométrie,
Vérifier si un triangle est rectangle,
Applications en architecture, construction, navigation…
⚠️ Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles!
Petit rappel
Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit ($90°$).
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.
Exemple
Dans ce triangle $\rm{AC}$ est l'hypoténuse et $\rm{AB}$ et $\rm{BC}$ sont les côtés de l'angle droit.
Les étapes pour assurer
1. Énoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans le triangle $\rm{ABC}$ rectangle en $\rm{B}$ ci-dessus:
$$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$$
Exemple
Dans ce triangle $\rm{ABC}$, $\rm{AB} = 4$ et $\rm{BC} = 5$.
Ainsi l'hypoténuse $\rm{AC}$ est donnée par:
$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$
$\rm{AC}^2 = 4^2 + 5^2$
$\rm{AC}^2 = 16 + 25$
$\rm{AC}^2 = 41$
$\rm{AC} = \sqrt{41} \approx 6,4$ unités de longueur
2. La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.
Exemples
On considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement $3 ~\rm{cm}$, $4 ~\rm{cm}$ et $5 ~\rm{cm}$. A-t-on $5^2 = 3^2 + 4^2$? $25 = 9 + 16$ ✓ donc le triangle considéré est rectangle.
On considère un autre triangle dont les côtés mesurent respectivement $5~ \rm{cm}$, $6 ~\rm{cm}$ et $7 ~\rm{cm}$. A-t-on $7^2 = 5^2 + 6^2$? $49 \neq 25 + 36$ $\checkmark$ donc le triangle considéré n'est pas rectangle
❌ On évite absolument
Confondre l'hypoténuse avec un autre côté.
Oublier de prendre la racine carrée à la fin.
Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
✅ On valide
Bien identifier l'hypoténuse: c'est le côté le plus long! Il est toujours en face de l'angle droit.
Bien écrire la formule avant de remplacer par les valeurs.
Utiliser la racine carrée pour retrouver la longueur.
