Puissances

Puissances de 10

$10^0 = 1$ et $10^1 = 10$.

Propriétés des puissances de 10

Pour tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs :

• $\boxed{10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}}$

Exemple

 $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}$

• $\boxed{10^{n}\times 10^{m} = 10^{m +n}}$

Exemple

$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}=10^2$

• $\boxed{\displaystyle \frac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}}$

Exemple

$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$
$\displaystyle \frac{10^4}{10^{-2}} = 10^{4-(-2)} = 10^{4+2}=10^{6}$

• $\boxed{\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{m \times n}}$

Exemples

$(10^3)^2 = 10^{3\times 2} = 10^6$

Écriture scientifique d'un nombre

L'écriture scientifique d'un nombre est celle de la forme $a \times 10^p$ avec $1 \le a \lt 10$ et $p$ un nombre entier relatif.

Exemples

$2, 017 \times 10^3$ est l'écriture scientifique du nombre $2\: 017$

$1,9 \times 10^{-2}$ est l'écriture scientifique du nombre $0,019$

EN RÉSUMÉ

Les puissances et leurs propriétés

Soit $a$ un nombre non nul.

Définitions de base

$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Propriétés des puissances

Pour tout nombre non nul $a$ et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

• Puissance négative :
  $$\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$$

Exemple

$4^{-4}=\dfrac{1}{4^4}$

• Produit de puissances :
  $$\boxed{a^n \times a^m = a^{m+n}}$$  

Exemples

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ 
$4^{-1}\times 4^4 = 4^{-1+4} = 4^3$ 

• Quotient de puissances :
  $$\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$$

Exemples
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{2^4}{2^{-2}}=2^{4-(-2)}=2^6$

• Puissance de puissance :
  $$\boxed{{(a^m)}^n = a^{m \times n}}$$

Exemple

${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$

EN RÉSUMÉ

En partenariat avec

 

En partenariat avec

 

Objectif

Comprendre et savoir calculer les puissances d'un nombre (positives et simples), et utiliser les règles de calcul associées.

Pourquoi c'est important ?

Les puissances apparaissent :

• Dans les calculs scientifiques,
• Dans les aires et volumes,
• Ou les écritures simplifiées comme la notation scientifique.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Puissance : Une puissance, c'est une multiplication répétée d'un même nombre.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}$$

• $a$ : la base = le nombre à multiplier
• $n$ : l'exposant = le nombre de fois qu'on multiplie

🔧 Les étapes pour assurer

1. Cas particuliers

• Puissance de 0

$$0^n = 0, n > 0$$

Exemple

$$0^3 = 0$$

• Puissance de 1

$$1^n = 1, \text{ pour tout } n$$

Exemple

$$1^4 = 1$$

• Exposant 0

$$a^0 = 1, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$4^0 = 1$$

• Exposant 1

$$a^1 = a, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$3^1 = 3$$

2. Les règles de calcul

• Multiplier les puissances

$$x^a \times x^b = x^{a+b}$$

Exemple

$$3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$$

• Diviser les puissances

$$x^a \div x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$

Exemple

$$3^4 \div 3^2 = \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$$

• Inverse d'une puissance

$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Exemple

$$\frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

• Puissance d'une puissance

$$(x^a)^b = x^{a \times b}$$

Exemple

$$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$$

❌ On évite absolument

• Confondre $x^n$ et $x \times n$ → ce n'est pas la même chose !
• Appliquer les règles de calcul avec des bases différentes

✅ On valide

• Même base en multiplication → $x^a \times x^b = x^{a+b}$
• Même base en division → $x^a \div x^b = x^{a-b}$
• Puissance d'une puissance → $(x^a)^b = x^{a \times b}$

Le petit + à retenir