Méthodo

Objectif

Savoir additionner et soustraire des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Savoir additionner ou soustraire des fractions est indispensable : ces calculs apparaissent souvent dans les exercices, les problèmes, les conversions, les durées ou les mesures.

⚠️ On ne peut pas les faire n'importe comment !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{3}{4}$
  • Le chiffre du haut $(3)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(4)$ s'appelle le dénominateur.
• Réduire au même dénominateur : Transformer les deux fractions pour qu'elles aient le même nombre en bas (le dénominateur), tout en changeant aussi le numérateur pour que la valeur reste la même.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les fractions ont déjà le même dénominateur

→ On garde le dénominateur,
→ On additionne ou soustrait les numérateurs.

Exemple

$$\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{7}{8}$$

→ Le dénominateur reste $8$,
→ On additionne juste les numérateurs : $5 + 2 = 7$

2. Les fractions ont des dénominateurs différents

→ On ne peut pas les additionner comme ça.
→ Il faut les transformer pour qu'elles aient le même dénominateur.

Exemple

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$$

Les dénominateurs sont $3$ et $4$ → ils sont différents.

Étape 1 : Chercher un nombre commun à $3$ et $4$ → $12$.

Étape 2 : Transformer les deux fractions :

• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$
• $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$

Étape 3 : Maintenant qu'on a le même dénominateur :

$$\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$$

3. On simplifie si possible (réduction de la fraction)

Quand une fraction peut être réduite, cela signifie que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. On peut alors écrire la fraction sous une forme plus simple.

Méthode

1. Chercher un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Exprimer les deux comme un produit.
3. Simplifier en supprimant ce facteur commun.

Exemple

$$\dfrac{10}{15} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{2}{3}$$

❌ On évite absolument

Additionner ou soustraire des fractions sans être sûr(e) qu'elles soient bien au même dénominateur.

✅ On valide

Réduire au même dénominateur les fractions à additionner ou soustraire.

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir multiplier et diviser des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Ces opérations sont très fréquentes dans :

• Les problèmes complexes,
• Les conversions d'unités,
• Les proportions, aires, volumes, etc.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes de l'addition/soustraction. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{5}{3}$
  • Le chiffre du haut $(5)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(3)$ s'appelle le dénominateur.
• On peut multiplier ou diviser deux fractions sans passer par le même dénominateur.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Multiplier des fractions

Règle : On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{4 \times 3} = \dfrac{10}{12}$$

Puis, on simplifie si possible :

$$\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$$

Astuce
Tu peux simplifier avant de multiplier (si possible), pour éviter les grands nombres.

2. Diviser des fractions

Règle : Diviser par une fraction, c'est la multiplier par son inverse.

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 2} = \dfrac{15}{8}$$

Dans cet exemple, la fraction obtenue ne se simplifie pas.

❌ On évite absolument

• Multiplier en croix comme pour l'addition → erreur !
• Oublier de simplifier le résultat.

✅ On valide

• En multiplication → numérateur $\times$ numérateur, dénominateur $\times$ dénominateur.
• En division → on inverse la deuxième fraction, puis on multiplie.
• Toujours simplifier si possible à la fin.

Le petit + à retenir

Objectif

Identifier rapidement si un nombre est divisible par $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$ ou $11$ sans poser la division.

Pourquoi c'est important ?

Connaître les critères de divisibilité, c'est très utile pour :

• Simplifier des fractions,
• Faire des divisions plus vite,
• Trouver des facteurs communs,
• Gagner du temps dans les calculs et les raisonnements.

⚠️ Sans connaître ses tables de multiplication, les calculs sont plus longs, plus durs, voire impossibles !

Petit rappel

Un nombre $A$ est divisible par $B$ s'il peut être divisé sans reste (le quotient est un nombre entier).

Exemples

• $36$ est divisible par $3$ → car $36 ÷ 3 = 12$
• $37$ n'est pas divisible par $3$ → car $37 ÷ 3 = 12,333...$

🪜 Les étapes pour assurer : à connaître par cœur

1. Divisible par 2

Un nombre est divisible par $2$ s'il est pair (se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$).

Exemples

• $28$ → se termine par $8$ → divisible par $2$
• $35$ → se termine par $5$ → pas divisible par $2$

2. Divisible par 3

Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Exemples

• $225$ → $2 + 2 + 5 = 9$ → $9$ est divisible par $3$
• $155$ → $1 + 5 + 5 = 11$ → $11$ n'est pas divisible par $3$

3. Divisible par 4

Un nombre est divisible par $4$ si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.

Exemples

• $416$ → les deux derniers chiffres : $16$ → $16 ÷ 4 = 4$ → $416$ est divisible par $4$
• $255$ → les deux derniers chiffres : $55$ → $55 ÷ 4 = 13,75$ → $255$ n'est pas divisible par $4$

4. Divisible par 5

Un nombre est divisible par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$.

Exemples

• $220$ → se termine par $0$ → $220$ est divisible par $5$
• $217$ → ne se termine ni par $0$ ni par $5$ → $217$ n'est pas divisible par $5$

5. Divisible par 6

Un nombre est divisible par $6$ s'il est à la fois divisible par $2$ et par $3$ ou encore s'il est pair et divisible par $3$.

Exemples

• $408$ est pair et $408$ → $4 + 0 + 8 = 12$ → $12$ est divisible par $3$. → $408$ est divisible par $6$
• $448$ est pair et $448$ → $4 + 4 + 8 = 16$ → $16$ n'est divisible par $3$. → $448$ n'est pas divisible par $6$

6. Divisible par 9

Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemples

• $522$ → $5 + 2 + 2 = 9$ → $522$ est divisible par $9$
• $255$ → $2 + 5 + 5 = 12$ → $255$ n'est pas divisible par $9$

7. Divisible par 10

Un nombre est divisible par $10$ s'il se termine par $0$.

Exemples

• $420$ → se termine par $0$ → $420$ est divisible par $10$
• $317$ → ne se termine pas par $0$ → $317$ n'est pas divisible par $10$

8. Divisible par 11

Un nombre est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et celle de ses chiffres de rang pair est nulle ou est un multiple de $11$.

Exemples

• $242$
  → somme des chiffres de rang impair : $2 + 2 = 4$
  → somme des chiffres de rang pair : $4$
  → $4 – 4 = 0$ → donc $242$ est bien un multiple de $11$
• $4172$
  → somme des chiffres de rang impair : $4 + 7 = 11$
  → somme des chiffres de rang pair : $1 + 2 = 3$
  → $11 – 3 = 8$ → ni nul ni multiple de $11$ → donc $4172$ n'est pas un multiple de $11$

❌ On évite absolument

• Tenter de diviser sans réfléchir.
• Ne pas simplifier trop vite.
• Apprendre les critères sans les appliquer dans des exemples.

✅ On valide

• Les critères de divisibilité font gagner du temps.
• Les sommes de chiffres aident pour $3$ et $9$.
• Les derniers chiffres suffisent pour $2$, $4$, $5$ et $10$.

Le petit + à retenir

 

Objectif

Comprendre et savoir calculer les puissances d'un nombre (positives et simples), et utiliser les règles de calcul associées.

Pourquoi c'est important ?

Les puissances apparaissent :

• Dans les calculs scientifiques,
• Dans les aires et volumes,
• Ou les écritures simplifiées comme la notation scientifique.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Puissance : Une puissance, c'est une multiplication répétée d'un même nombre.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}$$

• $a$ : la base = le nombre à multiplier
• $n$ : l'exposant = le nombre de fois qu'on multiplie

🔧 Les étapes pour assurer

1. Cas particuliers

• Puissance de 0

$$0^n = 0, n > 0$$

Exemple

$$0^3 = 0$$

• Puissance de 1

$$1^n = 1, \text{ pour tout } n$$

Exemple

$$1^4 = 1$$

• Exposant 0

$$a^0 = 1, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$4^0 = 1$$

• Exposant 1

$$a^1 = a, \text{ pour tout } a$$

Exemple

$$3^1 = 3$$

2. Les règles de calcul

• Multiplier les puissances

$$x^a \times x^b = x^{a+b}$$

Exemple

$$3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$$

• Diviser les puissances

$$x^a \div x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$

Exemple

$$3^4 \div 3^2 = \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$$

• Inverse d'une puissance

$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Exemple

$$\frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

• Puissance d'une puissance

$$(x^a)^b = x^{a \times b}$$

Exemple

$$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$$

❌ On évite absolument

• Confondre $x^n$ et $x \times n$ → ce n'est pas la même chose !
• Appliquer les règles de calcul avec des bases différentes

✅ On valide

• Même base en multiplication → $x^a \times x^b = x^{a+b}$
• Même base en division → $x^a \div x^b = x^{a-b}$
• Puissance d'une puissance → $(x^a)^b = x^{a \times b}$

Le petit + à retenir

 

Objectif

Savoir reconnaître quand utiliser Pythagore et calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.

Pourquoi c'est important ?

Le théorème de Pythagore sert à :

• Calculer une distance (diagonales, hauteurs, hypoténuses…),
• Résoudre des problèmes de géométrie,
• Vérifier si un triangle est rectangle,
• Applications en architecture, construction, navigation…

⚠️ Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles !

Petit rappel

• Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit ($90°$).
• Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
• Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.

Exemple

Dans ce triangle $\rm{AC}$ est l'hypoténuse et $\rm{AB}$ et $\rm{BC}$ sont les côtés de l'angle droit.

Les étapes pour assurer

1. Énoncé du théorème de Pythagore

Dans un triangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans le triangle $\rm{ABC}$ rectangle en $\rm{B}$ ci-dessus :

$$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$$

Exemple

Dans ce triangle $\rm{ABC}$, $\rm{AB} = 4$ et $\rm{BC} = 5$.

Ainsi l'hypoténuse $\rm{AC}$ est donnée par :

$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$

$\rm{AC}^2 = 4^2 + 5^2$

$\rm{AC}^2 = 16 + 25$

$\rm{AC}^2 = 41$

$\rm{AC} = \sqrt{41} \approx 6,4$ unités de longueur

2. La réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Exemples

• On considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement $3 ~\rm{cm}$, $4 ~\rm{cm}$ et $5 ~\rm{cm}$.
  A-t-on $5^2 = 3^2 + 4^2$ ?
  $25 = 9 + 16$ ✓ donc le triangle considéré est rectangle.

• On considère un autre triangle dont les côtés mesurent respectivement $5~ \rm{cm}$, $6 ~\rm{cm}$ et $7 ~\rm{cm}$.
  A-t-on $7^2 = 5^2 + 6^2$ ?
  $49 \neq 25 + 36$ $\checkmark$ donc le triangle considéré n'est pas rectangle

❌ On évite absolument

• Confondre l'hypoténuse avec un autre côté.
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin.
• Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.

✅ On valide

• Bien identifier l'hypoténuse : c'est le côté le plus long ! Il est toujours en face de l'angle droit.
• Bien écrire la formule avant de remplacer par les valeurs.
• Utiliser la racine carrée pour retrouver la longueur.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et appliquer le théorème de Thalès pour calculer des longueurs dans des triangles avec des droites parallèles.

Pourquoi c'est important ?

Le théorème de Thalès est un outil clé pour :

• Calculer les longueurs manquantes sans mesurer,
• Résoudre des problèmes de géométrie et de proportionnalité,
• Démontrer que des droites sont parallèles

⚠️ Le théorème de Thalès ne s'applique que dans le cas de droites parallèles !

Petit rappel

• Le théorème de Thalès concerne un triangle traversé par une droite parallèle à l'un de ses côtés
• Cela crée deux triangles semblables → leurs côtés sont proportionnels

Exemple

Les triangles $\mathrm{ADE}$ et $\mathrm{ABC}$ sont semblables.

🏗 Les étapes pour assurer

1. Énoncé du théorème de Thalès

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ ci-dessus, $\mathrm{D}$ appartient à $[\mathrm{AB}]$, $\mathrm{E}$ appartient à $[\mathrm{AC}]$ et les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles. On a alors l'égalité des rapports suivants :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

Exemple

Dans ce triangle $\mathrm{ABC}$, on a : $\mathrm{AB} = 4,24 ~\rm{cm}$, $\mathrm{AC} = 5 ~\rm{cm}$ et $\mathrm{BC} = 7~ \rm{cm}$

On a aussi $\mathrm{AD} = 1,41$ et $\mathrm{AE} = 1,67$

Quelle est la longueur du segment $\mathrm{DE}$ ?

Les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles donc :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$$

En appliquant le théorème de Thalès :

$$\frac{1,41}{4,24} = \frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

En considérant les deux derniers rapports :

$$\frac{1,67}{5} = \frac{\mathrm{DE}}{7}$$

On obtient par une règle de trois :

$$\mathrm{DE} = \frac{1,67 \times 7}{5} \approx 2,3$$

Ainsi $\mathrm{DE} \approx 2,3 ~\rm{cm}$

2. La réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle, on place une droite qui coupe deux côtés, et que les rapports des longueurs sont égaux, alors la droite est parallèle au 3ᵉ côté.

Exemples

Dans la figure ci-dessous, on a :

$\mathrm{AD} = 6~ \rm{cm}$
$\mathrm{AB} = 8 ~\rm{cm}$
$\mathrm{BC} = 4 ~\rm{cm}$

On a :

$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Et :

$$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} = \frac{3}{4}$$

Les deux rapports étant égaux, les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles.

❌ On évite absolument

• Appliquer Thalès si les droites ne sont pas parallèles.
• Inverser les rapports → toujours comparer les longueurs du même triangle (les petits sur les grands ou les grands sur les petits).
• Oublier de vérifier si le résultat est logique (longueur plus grande ou plus petite que prévu).

✅ On valide

• Vérifier qu'il y a bien un triangle et une droite parallèle au troisième côté.
• Poser le tableau de proportionnalité avant de calculer.
• Multiplier en croix comme une règle de 3.

 

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir calculer le périmètre, l'aire ou le volume d'une figure ou d'un solide courant.

Pourquoi c'est important ?

Ces formules sont utiles pour :

• Mesurer la surface d'un terrain, le contour d'une pièce, le volume d'un récipient, etc…
• Résoudre des problèmes de géométrie,

Petit rappel

• Périmètre : longueur du contour d'une figure → exprimé en unités ($\rm{m}$, $\rm{cm}$, $\rm{km}$…).
• Aire : surface occupée par une figure → exprimée en unités$^2$ ($\rm{m}^2$, $\rm{cm}^2$…).
• Volume : espace occupé par un solide → exprimé en unités$^3$ ($\rm{m}^3$, $\rm{cm}^3$…).
• Rayon : distance du centre au bord d'un cercle/sphère.
• Diamètre : $2 \times$ rayon.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les formules de périmètres

Figure	Formule	Exemple
Carré	$\mathcal P = 4c$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 4 \times 2 = 8~ \rm{m}$
Rectangle	$\mathcal P = 2 \times (L + \ell)$	$L = 3 ~\rm{m}$, $\ell = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2 \times (3 + 2) = 10 ~\rm{m}$
Cercle	$2\pi R$	$R = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal P = 2\pi \times 4 = 8\pi ~\rm{m}$

⚠️ Le périmètre d'un cercle est aussi sa circonférence.

2. Les formules d'aires

Figure	Formule	Exemple
Carré	$\mathcal A = c^2$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2^2 = 4~ \rm{m}^2$
Rectangle	$\mathcal A = L \times \ell$	$L = 5~ \rm{m}$, $\ell = 4 \rm{m} \rightarrow \mathcal A = 5 \times 4 = 20~ \rm{m}^2$
Triangle	$\mathcal A = \dfrac{b \times h}{2}$	$b = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10~ \rm{m}^2$
Parallélogramme	$\mathcal A = b \times h$	$b = 2 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = 2 \times 4 = 8~ \rm{m}^2$
Trapèze	$\mathcal A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$	$B = 3~ \rm{m}$, $b = 2 \rm{m}$, $h = 4~ \rm{m} \rightarrow \mathcal A = \dfrac{(3 + 2) \times 4}{2} = 10 ~\rm{m}^2$
Cercle	$\pi R^2$	$R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal A = \pi \times 3^2 = 9\pi ~\rm{m}^2$

3. Les formules de volumes

Solide	Formule	Exemple
Cube	$\mathcal V = c^3$	$c = 2 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 2^3 = 8 ~\rm{m}^3$
Pavé droit	$\mathcal V = L \times \ell \times h$	$L = 5 ~\rm{m}$, $l = 4 \rm{m}$, $h = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = 5 \times 4 \times 3 = 60 ~\rm{m}^3$
Cylindre	$\mathcal V = \pi R^2 h$	$R = 5 ~\rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \pi \times 5^2 \times 4 = 100\pi ~\rm{m}^3$
Pyramide	$\mathcal V = \dfrac{\mathcal A \times h}{3}$ $\mathcal A$ : aire de base	$\mathcal A = 12 ~\rm{m}^2$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{12 \times 4}{3} = 16 ~\rm{m}^3$
Cône	$\mathcal V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$	$R = 6 \rm{m}$, $h = 4 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{\pi \times 6^2 \times 4}{3} = 48\pi ~\rm{m}^3$
Sphère	$\mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$	$R = 3 ~\rm{m} \rightarrow \mathcal V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi ~\rm{m}^3$

❌ On évite absolument

• Mélanger formules d'aire, périmètre et volume.
• Confondre rayon et diamètre.
• Oublier de diviser par 2 pour les triangles, losanges, trapèzes.

✅ On valide

• Identifier la figure avant d'appliquer la formule.
• Vérifier l'unité : périmètre en $\rm{m}$, aire en $\rm{m}^2$, volume en $\rm{m}^3$.
• Pour les cercles et sphères → attention au rayon et au diamètre $(D = 2R).$

Le petit + à retenir