Fractions

Fraction irréductible

Propriété fondamentale des fractions

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul) et $k$ un nombre entier non nul, on a :

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b\times k} = \dfrac{a\div k}{b\div k}$$

Simplification d'une fraction

Cette formule permet de simplifier une fraction. La fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun, c'est-à-dire lorsque l'on a simplifié la fraction au maximum.

Exemple

$\dfrac{105}{75} = \dfrac{21\times 5}{15\times 5} = \dfrac{21}{15} = \dfrac{7\times 3}{5\times 3} = \dfrac{7}{5}$ qui est une fraction irréductible car $7$ et $5$ n'ont pas de diviseur commun.

EN RÉSUMÉ

En partenariat avec 

Objectif

Savoir additionner et soustraire des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Savoir additionner ou soustraire des fractions est indispensable : ces calculs apparaissent souvent dans les exercices, les problèmes, les conversions, les durées ou les mesures.

⚠️ On ne peut pas les faire n'importe comment !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{3}{4}$
  • Le chiffre du haut $(3)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(4)$ s'appelle le dénominateur.
• Réduire au même dénominateur : Transformer les deux fractions pour qu'elles aient le même nombre en bas (le dénominateur), tout en changeant aussi le numérateur pour que la valeur reste la même.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Les fractions ont déjà le même dénominateur

→ On garde le dénominateur,
→ On additionne ou soustrait les numérateurs.

Exemple

$$\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{7}{8}$$

→ Le dénominateur reste $8$,
→ On additionne juste les numérateurs : $5 + 2 = 7$

2. Les fractions ont des dénominateurs différents

→ On ne peut pas les additionner comme ça.
→ Il faut les transformer pour qu'elles aient le même dénominateur.

Exemple

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$$

Les dénominateurs sont $3$ et $4$ → ils sont différents.

Étape 1 : Chercher un nombre commun à $3$ et $4$ → $12$.

Étape 2 : Transformer les deux fractions :

• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$
• $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$

Étape 3 : Maintenant qu'on a le même dénominateur :

$$\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$$

3. On simplifie si possible (réduction de la fraction)

Quand une fraction peut être réduite, cela signifie que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. On peut alors écrire la fraction sous une forme plus simple.

Méthode

1. Chercher un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Exprimer les deux comme un produit.
3. Simplifier en supprimant ce facteur commun.

Exemple

$$\dfrac{10}{15} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{2}{3}$$

❌ On évite absolument

Additionner ou soustraire des fractions sans être sûr(e) qu'elles soient bien au même dénominateur.

✅ On valide

Réduire au même dénominateur les fractions à additionner ou soustraire.

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir multiplier et diviser des fractions facilement et correctement.

Pourquoi c'est important ?

Ces opérations sont très fréquentes dans :

• Les problèmes complexes,
• Les conversions d'unités,
• Les proportions, aires, volumes, etc.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes de l'addition/soustraction. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Fraction : Un nombre écrit sous la forme d'une division, par exemple $\dfrac{5}{3}$
  • Le chiffre du haut $(5)$ s'appelle le numérateur.
  • Le chiffre du bas $(3)$ s'appelle le dénominateur.
• On peut multiplier ou diviser deux fractions sans passer par le même dénominateur.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Multiplier des fractions

Règle : On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{4 \times 3} = \dfrac{10}{12}$$

Puis, on simplifie si possible :

$$\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$$

Astuce
Tu peux simplifier avant de multiplier (si possible), pour éviter les grands nombres.

2. Diviser des fractions

Règle : Diviser par une fraction, c'est la multiplier par son inverse.

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$$

Exemple

$$\dfrac{5}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 2} = \dfrac{15}{8}$$

Dans cet exemple, la fraction obtenue ne se simplifie pas.

❌ On évite absolument

• Multiplier en croix comme pour l'addition → erreur !
• Oublier de simplifier le résultat.

✅ On valide

• En multiplication → numérateur $\times$ numérateur, dénominateur $\times$ dénominateur.
• En division → on inverse la deuxième fraction, puis on multiplie.
• Toujours simplifier si possible à la fin.

Le petit + à retenir

Objectif

Identifier rapidement si un nombre est divisible par $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$ ou $11$ sans poser la division.

Pourquoi c'est important ?

Connaître les critères de divisibilité, c'est très utile pour :

• Simplifier des fractions,
• Faire des divisions plus vite,
• Trouver des facteurs communs,
• Gagner du temps dans les calculs et les raisonnements.

⚠️ Sans connaître ses tables de multiplication, les calculs sont plus longs, plus durs, voire impossibles !

Petit rappel

Un nombre $A$ est divisible par $B$ s'il peut être divisé sans reste (le quotient est un nombre entier).

Exemples

• $36$ est divisible par $3$ → car $36 ÷ 3 = 12$
• $37$ n'est pas divisible par $3$ → car $37 ÷ 3 = 12,333...$

🪜 Les étapes pour assurer : à connaître par cœur

1. Divisible par 2

Un nombre est divisible par $2$ s'il est pair (se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$).

Exemples

• $28$ → se termine par $8$ → divisible par $2$
• $35$ → se termine par $5$ → pas divisible par $2$

2. Divisible par 3

Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Exemples

• $225$ → $2 + 2 + 5 = 9$ → $9$ est divisible par $3$
• $155$ → $1 + 5 + 5 = 11$ → $11$ n'est pas divisible par $3$

3. Divisible par 4

Un nombre est divisible par $4$ si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.

Exemples

• $416$ → les deux derniers chiffres : $16$ → $16 ÷ 4 = 4$ → $416$ est divisible par $4$
• $255$ → les deux derniers chiffres : $55$ → $55 ÷ 4 = 13,75$ → $255$ n'est pas divisible par $4$

4. Divisible par 5

Un nombre est divisible par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$.

Exemples

• $220$ → se termine par $0$ → $220$ est divisible par $5$
• $217$ → ne se termine ni par $0$ ni par $5$ → $217$ n'est pas divisible par $5$

5. Divisible par 6

Un nombre est divisible par $6$ s'il est à la fois divisible par $2$ et par $3$ ou encore s'il est pair et divisible par $3$.

Exemples

• $408$ est pair et $408$ → $4 + 0 + 8 = 12$ → $12$ est divisible par $3$. → $408$ est divisible par $6$
• $448$ est pair et $448$ → $4 + 4 + 8 = 16$ → $16$ n'est pas divisible par $3$. → $448$ n'est pas divisible par $6$

6. Divisible par 9

Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemples

• $522$ → $5 + 2 + 2 = 9$ → $522$ est divisible par $9$
• $255$ → $2 + 5 + 5 = 12$ → $255$ n'est pas divisible par $9$

7. Divisible par 10

Un nombre est divisible par $10$ s'il se termine par $0$.

Exemples

• $420$ → se termine par $0$ → $420$ est divisible par $10$
• $317$ → ne se termine pas par $0$ → $317$ n'est pas divisible par $10$

8. Divisible par 11

Un nombre est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et celle de ses chiffres de rang pair est nulle ou est un multiple de $11$.

Exemples

• $242$
  → somme des chiffres de rang impair : $2 + 2 = 4$
  → somme des chiffres de rang pair : $4$
  → $4 – 4 = 0$ → donc $242$ est bien un multiple de $11$
• $4172$
  → somme des chiffres de rang impair : $4 + 7 = 11$
  → somme des chiffres de rang pair : $1 + 2 = 3$
  → $11 – 3 = 8$ → ni nul ni multiple de $11$ → donc $4172$ n'est pas un multiple de $11$

❌ On évite absolument

• Tenter de diviser sans réfléchir.
• Ne pas simplifier trop vite.
• Apprendre les critères sans les appliquer dans des exemples.

✅ On valide

• Les critères de divisibilité font gagner du temps.
• Les sommes de chiffres aident pour $3$ et $9$.
• Les derniers chiffres suffisent pour $2$, $4$, $5$ et $10$.

Le petit + à retenir