Relations trigonométriques dans un triangle
I. Vocabulaire
Sinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d'un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
$$\rm\sin \widehat{A B C}=\dfrac{\text { Côté opposé à } \widehat{A B C}}{\text { hypoténuse }}$$
Exemple
Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{B}$, on a : $\rm\sin \widehat{B A C}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$.
Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur l'hypoténuse.
$$\rm \cos \widehat{A B C}=\dfrac{\text {Côté adjacent à } \widehat{A B C}}{\text {hypoténuse}}$$
Tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d'un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{B}$, on a :
$$\begin{array}{l}\rm\tan \widehat{BAC} & =\rm\dfrac{\text {Côté opposé à } \widehat{B AC}}{\text {Côté adjacent à } \widehat{B A C}}\\& =\rm\dfrac{B C}{A B}\end{array}$$
II. Propriétés
Relation entre cosinus, sinus et tangente
La tangente d'un angle aigu est égale au quotient du sinus de cet angle par son cosinus. Autrement dit ; si $\rm\widehat{A}$ est un angle aigu, on a : $\rm\tan \widehat{A}=\dfrac{\sin \widehat{A}}{\cos \widehat{A}}$.
Cosinus et sinus d'angles complémentaires
Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.
Autrement dit, si $\rm \widehat{A}$ et $\rm\widehat{B}$ sont deux angles tels que mes $\rm\widehat{A}+ mes \widehat{B}=90^{\circ}$ alors : $\rm\sin \widehat{A}=\cos \widehat{B}$ et $\rm\cos \widehat{A}=\sin \widehat{B}$.
Relation fondamentale
Pour tout angle aigu de mesure $a^{\circ}$, on a :
- $0 < \sin a^{\circ} < 1$ ;
- $0 < \cos a^{\circ} < 1$ ;
- $\sin ^2 a^{\circ}+\cos ^2 a^{\circ}=1$.
III. Valeurs remarquables
| $\rm \widehat A$ | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
| $\sin\rm\widehat A$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $1$ |
| $\cos\rm\widehat A$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\rm\widehat A$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt 3}{3}$ | $1$ | $\sqrt 3$ | $x$ |
