Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Pour tout $x \in\:]0~ ; + \infty[$, $\ln’(x) = \dfrac{1}{x}$.

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ;

$\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ ;

$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ;

$\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel)

$\dfrac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$ ;

$\ln({a}^x) = x \ln(a)$ ($x$ réel)

Dérivée et variations

Pour tout $x \in\:]0 ~; + \infty[$, $\ln’(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

$\ln(1) = 0$ donc $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $\mathrm I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $\mathrm I$ et $(\ln(u))’ = \dfrac{u'}{u}$ sur cet intervalle.

Limites 

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x = 0$.

Représentation graphique

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante, donc pour tous les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ 

$\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ 

$\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b$

Pour tout $a$ réel et tout $b > 0$ réel :

$\mathrm e^{ax} = b$ $\Leftrightarrow$ $ax = \ln(b)$ $\Leftrightarrow$ $x = \dfrac{\ln(b)}{a}$

$\mathrm e^{ax} > b$ $\Leftrightarrow$ $ax > \ln(b)$ (inégalité à diviser par $a$ en faisant attention à son signe pour définir son sens)

La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

La fonction $\log$ possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien :

$\log(1) = 0$ ;

$\log(10) = 1$ ;

$\log(10^{n}) = n \log (10) = n$ pour tout $n $ entier naturel

La fonction $\log$ est fréquemment utilisée en physique, en chimie et en acoustique.