Exercices sur les triangles rectangles : entraînez-vous avec corrigés

Le triangle rectangle est un incontournable des mathématiques, étudié du collège au lycée. Au centre des exercices de géométrie, il mobilise Pythagore, Thalès, la trigonométrie et le calcul d’aires. Maîtriser ses propriétés fait gagner du temps en évaluation. Cet article propose un rappel des notions essentielles et des exercices corrigés pour s’entraîner.

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Le triangle rectangle : définition et rappels

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Ce type de figure géométrique est au cœur de nombreux exercices de maths, du collège jusqu’au lycée.
On y croise des notions incontournables comme le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) et le calcul d’aires.

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Les propriétés du triangle rectangle à maîtriser

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, si l’on note c l’hypoténuse et a et b les deux autres côtés, la relation fondamentale est :
c² = a² + b².
C’est l’outil incontournable pour calculer une longueur manquante.

Théorème de Thalès

Très utile dans les configurations avec des droites parallèles, il permet de résoudre des exercices en reliant des rapports de longueurs.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

• cos(θ) = côté adjacent ÷ hypoténuse
  
• sin(θ) = côté opposé ÷ hypoténuse
  
• tan(θ) = côté opposé ÷ côté adjacent

Ces formules permettent de calculer des angles ou des longueurs sans avoir besoin du théorème de Pythagore.

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Exercices corrigés sur les triangles rectangles

Exercice 1 : application directe du théorème de Pythagore

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit 6 cm et 8 cm.

1. Calcule l’hypoténuse.
   
2. Déduis l’aire du triangle.

Correction :

1. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 cm.
   
2. Aire = (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm².

Exercice 2 : trigonométrie et calcul d’angle

Dans un triangle rectangle, on sait que l’hypoténuse mesure 10 cm et un côté adjacent 6 cm.

1. Calcule le cosinus de l’angle.
   
2. En déduis la mesure de l’angle (arrondie au degré près).

Correction :

1. cos(θ) = 6 ÷ 10 = 0,6.
   
2. θ ≈ cos⁻¹(0,6) ≈ 53°.

Exercice 3 : exercice type brevet

Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 7 cm et AC = 24 cm.

1. Calcule BC.
   
2. Vérifie que ce triangle est bien rectangle.
   
3. Donne l’aire du triangle.

Correction :

1. BC² = AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 → BC = 25 cm.
   
2. Comme 7² + 24² = 25², le triangle est bien rectangle.
   
3. Aire = (7 × 24) ÷ 2 = 84 cm².
   

Exercice 4 : type lycée (trigonométrie avancée)

Dans un triangle rectangle, on connaît un angle θ = 30° et l’hypoténuse = 10 cm.

1. Calcule le côté opposé.
   
2. Calcule le côté adjacent.

Correction :

1. sin(30°) = opposé ÷ 10 → opposé = 10 × 0,5 = 5 cm.
   
2. cos(30°) = adjacent ÷ 10 → adjacent = 10 × 0,866 ≈ 8,66 cm.
   

S’entraîner encore avec nos annales corrigées de géométrie.

Les cas particuliers du triangle rectangle

Triangle rectangle isocèle

Un triangle rectangle peut aussi être isocèle si les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur. Les angles aigus valent alors 45°.

Triangle de Pythagore (3-4-5)

Le plus célèbre des triangles rectangles : ses côtés mesurent 3, 4 et 5 unités. C’est l’exemple parfait pour vérifier le théorème de Pythagore.

FAQ sur les exercices de triangle rectangle

Quels sont les exercices les plus fréquents sur le triangle rectangle ?

Les plus classiques concernent le théorème de Pythagore, les calculs d’aires et de périmètres, ainsi que l’utilisation des formules de trigonométrie.

Comment vérifier si un triangle est rectangle ?

On calcule avec Pythagore : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

Quelle est la différence entre sinus, cosinus et tangente ?

Ce sont des rapports de longueurs dans un triangle rectangle : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.

Pourquoi s’entraîner sur les triangles rectangles ?

Parce qu’ils sont présents dans tous les programmes de maths, du collège au lycée, et tombent très souvent au brevet comme au bac.