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Puissances

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Puissances de 10 et écriture scientifique

Puissances de 10 :

$10^0 = 1$ ; $10^1 = 10$.

Pour tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle 10^{-n} = \frac{1}{10^{n}}~ ;\\
10^{n}\times 10^{m} = 10^{m +n}~ ;\\
\displaystyle \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m-n}~ ;\\
{\left(10^{m}\right)}^{n} = 10^{m \times n}.\end{array}\]

Exemples :
$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}=10^2$ ;
$(10^3)^2 = 10^{3\times 2} = 10^6$ ;
$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$

Écriture scientifique d'un nombre

L’écriture scientifique d’un nombre est celle de la forme $a \times 10^p$ avec $1 \le a \lt 10$ et $p$ un nombre entier relatif.

Exemples :

$2, 017 \times 10^3$ est l’écriture scientifique du nombre $2\: 017$ ;
$1,9 \times 10^{-2}$ est l’écriture scientifique du nombre $0,019$.

Puissance d’un nombre non nul

Soit $a$ un nombre non nul.

$a^0$ = 1 et $a^1 = a$.

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

  • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ;
  • $a^n \times a^m = a^{m+n}$ ;
  • $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ;
  • ${(a^m)}^n = a^{m \times n}$.

Exemples :

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ ;

$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ ;

${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$.

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