Hyperstatisme

On considère un système constitué de plusieurs solides dont on veut calculer le degré d’hyperstatisme.

Si on note $\rm m$ la mobilité du système, $\gamma$ le nombre cyclomatique et $\rm I_{c}$ le nombre d’inconnues cinématiques de liaison, il est possible de calculer l’hyperstatisme avec une approche cinématique.

$\rm h=m+6\gamma-I_{c}$ en 3D
$\rm h=m+3\gamma-I_{c}$ en 2D

Si on note $\rm m$ la mobilité du système, $\rm p$ le nombre d'ensembles cinématiques (bâti compris) et $\rm N_{s}$ le nombre d'inconnues statiques, il est possible de calculer l'hyperstatisme avec une approche statique :

$\rm h=m+N_{s}-6(p-1)$ en 3D
$\rm h=m+N_{s}-3(p-1)$ en 2D

Quelle que soit l’approche adoptée, les étapes présentées ci-dessous sont inévitables :

Étape 1 : Établir le graphe des liaisons du système, il permettra de compter le nombre de solides $p$ ou de calculer le nombre de boucles indépendantes $\gamma$.

Étape 2 : Évaluer les inconnues cinématiques ou statiques grâce aux liaisons repérées dans le graphe des liaisons. Bien faire attention, dans le cadre d'un problème 2D, suivant son orientation une liaison n'aura pas le même nombre d'inconnues cinématiques ou statiques. Par exemple, une liaison pivot d'axe perpendiculaire au plan aura 2 inconnues statiques, tandis qu’un pivot d'axe compris dans le plan aura 3 inconnues statiques.

Étape 3 : Évaluer la mobilité du système.

On considère un système constitué de plusieurs solides rigides liés les uns par rapport aux autres. L’énoncé demande de calculer l’hyperstatisme d’une liaison équivalente entre 2 solides. La méthode se décompose comme suit :

Étape 1 : Calculer la liaison équivalente en utilisant une approche statique. On rappelle que, pour des liaisons en parallèle, on somme les torseurs statiques exprimés au même point, pour des liaisons en série, on égalise les torseurs statiques exprimés au même point.

Étape 2 : Par exemple, si le torseur statique des actions mécaniques de la liaison équivalente du solide $1$ sur le solide $2$ au point $\rm A$ s'exprime comme suit, où les différents termes sont des inconnues statiques :

On compte ici $\rm I_{s}=12$ inconnues statiques dans cette liaison équivalente, de plus, dans ce torseur, il y a $\rm N_{eq}=5$ composantes potentiellement non nulles, on peut utiliser la définition d’hyperstatisme : $\rm h=I_{s}-N_{eq}$. Dans l'exemple donné, on a un hyperstatisme de degré $7$.