Soit $\rm E$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.

Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien $\rm E$. On a : $\rm E=F\bigoplus F^{\bot}$.

Remarque : $\mathrm F^{\bot}=\{x\in \rm E/\text{pour tout} y\in \rm F$, $(y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\rm F$, c’est-à-dire $\rm F+F^{\bot}=E$, $\rm F\cap F^{\bot}=\{0_E\}$ et pour tout $(x,y)\in \rm F\times F^{\bot}$, $(x|y)=0$ (vecteurs orthogonaux).

Méthode 1 : Etudier une projection orthogonale

  • Utiliser la définition :

Soit $x\in \rm E$ tel que $x=y+z$ dans la somme $\rm F\bigoplus F^{\bot}$.

Alors $y$ est le projeté orthogonal (ou projection) de $x$ sur $\rm F$ parallèlement à son supplémentaire orthogonal et est noté $\mathrm{p_F}(x)$.

  • Utiliser l’expression dans une base orthonormale :

Soit $\rm (e_0,\ldots,e_n)$ base orthonormale du sous-espace vectoriel $\rm F$.

Pour tout $x\in \rm E$, $\mathrm{p_F}(x)=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=0}^{n}(e_k}|x)\rm e_k$.

  • Etudier une suite orthonormale de vecteurs :

Soit $\rm (e_k)_{k\in\mathbb N}$ une suite orthonormale totale d’éléments de $\rm E$.

Soit $\rm p_n$ le projecteur orthogonal de $\rm E$ sur $\rm Vect(e_0,\ldots,e_n)$ pour tout $\rm n\in\mathbb N$.

Alors, pour tout $x\in \rm E$, $\rm (p_n(x))_{n\in\mathbb N}$ converge vers $x$.

Remarque : $\rm (e_k)_{k\in\mathbb N}$ suite de vecteurs de $\rm E$ est totale si $\rm \overline{Vect\{e_n/n\in\mathbb N\}}=E$.

Corollaire : Si $\rm (e_k)_{k\in\mathbb N}$ suite orthonormale totale d’éléments de $\rm E$, alors pour tout $x\in \rm E$, $x=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=0}^{+\infty}(e_k}|x) \rm e_k$.

  • Utiliser la propriété :

Un élément $\rm p\in\mathcal L(E)$ est une projection si et seulement si $\rm p\circ p=p$.

  • Utiliser le lien avec la distance

Théorème et définition :

Pour tous $x\in \rm E$ et $y\in \rm F$, $||x-y||\geq ||x-\mathrm{p_F}(x)||$ avec égalité si et seulement si $y=\mathrm{p_F}(x)$.
$\mathrm d(x,\mathrm F)=||x-\mathrm{p_F}(x)||=\inf_{y\in \mathrm F}||x-y||$ est la distance de $x$ à $\rm F$.

Théorème : $\mathrm d(x,\mathrm F)=\sqrt{||x||^2-||\mathrm{p_F}(x)||^2}$.

Méthode 2 : Étudier un endomorphisme symétrique

Soit $\rm E$ un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension $\rm n\in\mathbb N^*$.

  • Définition : Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est symétrique si pour tous $x,y\in \rm E$, $(u(x)|y)=(x|u(y))$.
  • Théorème : Soient $u$ un endomorphisme de $\rm E$ et $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormale de $\rm E$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
    1. $u$ est symétrique
    2. $\mathrm{Mat_e} u$ est symétrique.
  • Théorème spectral : Soit $u$ endomorphisme de $\rm E$ symétrique.
    Alors $\rm E$ est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $u$. De manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant $u$.

Remarque : Par analogie, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable avec des matrices de passages orthogonales.