Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé $(\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.
Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs non nuls du plan :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \, \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}~ ; \vec{v})$
Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = xx’ + yy’ qui est un nombre réel.
Exemple : pour $\vec{u}(2~;-1)$ et $\vec{v}(1~;0)$ deux vecteurs du plan, $\vec{u}\cdot \vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 0 = 2$.
Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
